导论 碰攮前 碰撞后 (13.2) 散射角日是和P之间的夹角对图14的三角形应用余弦定理我们有 的+p-2A D 图1-4 对于光子,考虑到A=h,(133)的两边同时乘以c2,因而得到 hv+hv-2hwcosd= Pc (1.3.4) 应用(13.1)于是有 E-E=h2v2+h2,2-2h w'=E2+ 根据相对论,我们用E+p2c2代替E2,从(13.5)减去(1.3.4)得到 2h2w(1-∞s0)=2E-2EE0 (13.6) 所以,应用(1.3.1) 2wy(1-c8)=E(E-E) (13.7) 看到h2(1-0s9)="yc=5-c=x-,因而波长的增量是 3.8) 该式是康普顿效应的基本方程 1.4考虑一束光通过平行的双缝当双缝的任何一条被封闭,在挡板后面屏幕上观察到典型 的衍射花样(图15) 当双缝同时打开,花样表示在图16中;在行射轮廓线内呈现出干涉花样注意,这个花 样不是两个单缝衍射的叠加这个现象能用经典粒子性光子解释吗?在这个实验装置中 能说明光的粒子性吗?
6 量子力学 强度 强度 幕 强度 图1 解假设光束由质点式的经典粒子流构成如果分别考虑任一个单个粒子,我们注意到,它必定 穿过双缝的某一条因而,当两缝同时打开时我们得到的花样一定是分别打开每一条单缝所得花样的 叠加然而这种结果在实验中从未观察到实际得到的花样只能用光同时通过双缝发生干涉来解释 另外,在这个系统还可以观察到光的粒子性如果光强很弱,达到屏幕的光子数增加得很慢.如果 把照相底版置于屏幕位置花样逐时逐点地慢慢成形这表明光子一个一个地分别达到屏幕注意,不 能决定这些光子的哪一个通过哪条窄缝,这种测量将毁坏干涉图样 1.5图17简略地描述一个实验装置,其目的是测量单个电子的位置具有精确动量p2的电 子束沿x轴的正方向运动,与沿x轴负方向照射的光发生散射一个确定的电子将散射 确定的光子,光子通过显微镜探测 根据光学理论测量电子位量的精确度是 光子 (151) 这里λ是光的波长实验表明如果我们想减小λ使△x减 到最小这样做的结果是损失电子动量x分量的倍息 根据量子理论散射光也由光子组成,每个光子具有动量 c散射后的光子方向在棱镜孔径张角29范围内无法确定 因此,光子动量的x分量不确定度为 所以
导论 7 如果我们试图通过测量屏幕的反冲以便更精确地测定光子动量的x分量的办法来克服这一困难,但 是我们不要忘记,一旦将显微镜作为整个观测系统的一部分还必须考虑它的位置显微镜本身必须遵 从测不准关系,如果其动量被精确测定,其位置的测定势必降低精确度.所以,这个装置给不出违反测 不准关系的机会 16证明当n很大且只涉及小量子数跃迁时玻尔氢原子与经典情况吻合 证我们来计算在相邻的两个态n=n和n1=n-1之间跃迁所发射的光子的频率,这里 n》1定义 Redberg常数R 于是有,E=R和E4=当R因而发射光子的频率为 (1.6.1) n=1,对于n≥1,于是我们有 n4+n≈2n,n1n2全n2 (1.6.2) 所以y2R/n3根据电磁学的经典理论,以频率f旋转的电荷将发出频率为∫的辐射另一方面,应 用玻尔氢原子模形电子绕核的轨道频率 或fn=2cR/n3,该结果和跃迁光子的频率v完全相同 1.7证明测不准关系迫使我们放弃半经典玻尔氡原子模型 证旷在玻尔模型中,我们将电子作为经典粒子处理容许轨道由量子化规则确定圆形轨道半 径r和电子绕核转动的动量p=m必须满足p=n(n=1,2,…),以经典观点考虑电子的运动当比 较r和p时必须忽略位置和动量的不确定性换句话说,△x《,△p≤p这意味着 ax≌1 (1.7.1 另一方面,不确定关系 于是除非n>1,否则(1.71)式和(1.7.2)式矛盾 1.8(a)考虑一个热中子,其速度v相应于温度T=300K时的平均热运动能量这样的中子 東落在晶体上有可能观测到衍射图样吗? (b)在大加速器中,供给一个电子的能量超过1GeV=10°eV,这种电子相应的德布罗意 波波长是多少? 解(a)绝对温度T下的平均热运动能量是E。=k7,这里k是 Boltzmann常数 (k=1.38×10-3JK),因此,我们有 (18.1) 根据德布罗意关系,相应的波 3m。kT (1.8.2) 当T=30K,我们有 6.63×10-3 1.67×102×1.38×10 ≈1.4(A) 1028×300 1.8.3) 这是晶体中原子间隙大小的数量级因而符射现象和X射线相似
量子力学 (b)我们注意电子的静止能量是mc2≈0.5×10eV因而,如果10°eV的能量给予电子,它将以接近 速的速度运动,所以必须用相对论动力学予以处理相应的波长A=h/p仍有效,但我们有E p2e2+m,c2.在本例题中,m,c2和E相比可以忽略我们得到 6.6×1034×3×10 1.2×10-5m=1.2f 将电子加速到这样大的能量就可以探测原子核的结构 1.9波导中波长和频率的关系为 用光速c和相速度v=y表示群速度 解首先我们找出角频率对波数k的依赖关系我们有c=2xv,于是应用(1,91)我们有 (k)=2x (1.9.2) 所以群速度为 ,一结品完导 (1.9.3) 补充习题 1.10参照习题1.9,求出群速度 (a)v (浅水中的水波,T是表面张力P是密度) ()√2(深水中的水波 蓄案(0)=÷2v:(b)=2 111设强度为10wm2的光垂直照射到金属表面,原子间距近似为3A,每个原子有一个自由电子金属 表面的电子结合能是5eV假设照射在表面上的光均匀分布,且其能量被表面电子吸收,如果入射辐射 当做经典波处理,光束打开直到电子获得足够的能量作为光电子释放出来要多长时 答案大约2800年 112强度为Ⅰ频率为的单色光束照射到完全吸收表面上,设光垂直入射到表面应用经典电磁理论,可 以证明表面受到辐射压强的作用该压强和光强有关p=I/c,根据量子理论观点,该关系式仍有效吗? 答案有效.p=出N这里N是光子束流量 1,13单色光被电子散射使用例题1.3的结果,求当散射角是0时波长的变化量在可见光区域(比如说 =4000波长的相对增量是多大?对A=1A的X射线波长相对增量是多大? 答案=1(1-s6)=0.0243A,对于k=400A,相对增量是百分之000:)对=1A,相对增量 是百分之2 114我们希望证明实物粒子的波动性对于宏观物质世界是不相于的例如取一个直径1m和质量 m=10kg的小徽粒如果其速率是lmg计算相应的德布罗意波长 答案x=6.6×106A 1.15考虑线度为10A的一个病毒假设其密度和水的密度相等(gcm3)并位于和其线度近似相等的区域求 病毒的最小速率 答案vm≈1mls
二拿学预备知识 2.1复域C 复数域记为C是由复数a+bi生成的域这里a和b是实数,而i是方程x2+1=0的一 个解,即 1.如果z=a+bi,那么a称为z的实部并用Re(x)表示;b称为z的虚部并 用Im(z)表示z=a+b的复数共轭是a-bi,用z表示复数的加法和乘法以如下的方式给 出 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) (2.1) (a+ bi)(c+di)=(ac-]d)+(bc+ ad ) 如果z≠0,我们定义W和z的除法为 + b (2.3) (2.4) 图21用平面上的点表示复数域 图2-1 点z和O之间的距离为z|=√a+b2=√泛并称之为z的模称角为z的幅角,用 arg(z)表示因为平面上的点可以用极坐标即一对数(r,)表示,这里r>0及0≤0<2x,复 数可以用模和幅角写出,因为容易证明 rsin C 2 +b,0=arctan( 心是情说的因为反正切的值范圈为[-号号)用几何方法不难给出不处在第象限内的复 角公式一译者注