§8-4等距节点的牛顿一柯特斯公式 、公式推导 Newton- Cotes公式是指等距节点下使用 Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f(x)∈C[a,b 将积分区间[a,b分割为n等份 各节点为x1=a+i,=0,1,…,n 其中h b-a为步长 如果作变量替换x=a+th,那么由
§8-4 等距节点的牛顿—柯特斯公式 一、公式推导 Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值 多项式建立的数值求积公式 设函数f (x)C[a,b] 将积分区间[a,b]分割为n等份 xi = a +ih , i = 0,1, ,n 其中 为步长 n b a h − = 各节点为 如果作变量替换x = a +th,那么由
(x-x0)…(x-x11)(x-x1)…(x-xn) x (x1-x0)…( )( X-X 导出求积公式的系数 A=h (-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t l!(-1)”(n-) b-a(-1) (t-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t-n)ut (t-1)…(t-i+1)(t-i-1)…(t-n)k 0 0.1
( 0,1, , ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( ) !( )! ( 1) !( 1) ( )! ( 1) ( 1)( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ( ) 0 0 0 1 1 0 1 1 i n t t t i t i t n dt i n i C t t t i t i t n dt n i n i b a dt i n i t t t i t i t n A h dx x x x x x x x x x x x x x x x x A n n i n i n n i n n i i b a i i i i i i n i i n i − − − + − − − − − = − − + − − − − − − = − − − − + − − − = − − − − − − − − = − − − − + − + 记 导出求积公式的系数
A=(b-a)C 于是相应的插值型求积公式为 r(x)k(b-a∑Cf(x)(2) 这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿一柯特斯公式 C(叫柯特斯系数. 在 Newton- Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式 1梯形公式 取n=1,则 X1 bh=b
( ) ( ) ( ) (2) ( ) 0 ( ) ( ) i b a n i n i n i i f x dx b a C f x A b a C = − = − 于是相应的插值型求积公式为 则 这种等距节点的插值型求积公式(2)称为牛顿—柯特斯公式 . Ci (n) 叫柯特斯系数 在Newton-Cotes公式中,n=1,2时的公式是梯形公式和 Simpson公式 1.梯形公式 取n = 1,则x0 = a , x1 = b ,h = b − a
Cotes系数为 2 于是 b f(dx ff(a)+f(b 2 Simpson公式 6+ b 取n=2,则x0=a,x1 x=bh 2 2 Cotes系数为Ca) 1 45(-1)(-2)t=
t dt = − − 1 0 ( 1) (1) C0 Cotes系数为 2 1 = tdt = 1 0 (1) C1 2 1 = 于是 [ ( ) ( )] 2 ( ) f a f b b a f x dx b a + − 2.Simpson公式 2 , , 2 2, , 0 1 2 b a x b h b a n x a x − = = + 取 = 则 = = Cotes系数为 C t t dt = − − 2 0 (2) 0 ( 1)( 2) 4 1 6 1 =
4 t(t-2)dt 2J0 4J0 于是 f(x)x≈(b-a∑C)f(x) bar(a)+4/(a+b)+/(b
C t t dt − − = 2 0 (2) 1 ( 2) 2 1 6 4 = C t tdt = − 2 0 (2) 2 ( 1) 4 1 6 1 = = − 2 0 (2) ( ) ( ) ( ) k k k b a f x dx b a C f x ) ( )] 2 [ ( ) 4 ( 6 f b a b f a f b a + + + − = 于是