《计算方法》习题 1.下列各数郭是对真值进行四舍五入后得到的近似值,试分别写出它们的绝对误差 限,相对误差限有效数字的位数: (1)x1=0.0连 (2)x2=0.413 (3)x2=57.0 (4)x=60000 (5)x;=8×05 2.如要求:的近似值的相对误差≤01%问π至少应取几位有效数字 为了使√1的近似值的相对误差≤0.1%问至少应取几位有效数字? 4.如用级数=∑x"/m!来求e的值为使相对误差<103,问至少需取几项? 5.用观测恒的方法求得某地纬度q=4502”(读到秒),问计算sing将有多少误差? 6·正方形的边长约为100厘米问测量时误差最多只能到多少,才能保证面积的误差 不超过1平方厘? 求方程x-40x+1=0的两个根使它们至少具有四位有效数字(已知√399≈ 8.设近似数x”的绝对误差为e,当分别计算下列两式时,问误差e对计算结果的影响 如何? 9.下列各题思样计算才合理(即计算结果的精度高)? (1)1-cos1用四位函数表求三角函数值); 2)ln(30-、302-1)(开方用六位函数表); (3)sx(其中|x1充分小); d 1+x(其中N充分大) 10.下面计算y的公式中哪一个算得更准些?为什么? (1)已知|xk<1:(a)y=1+x1+z(b)y-(1+2x)(1+x (2)已知|x|<1:(a) (3)已知|x|<1(a)y (b)y (4)已知p>0,>0,p》q (b) 1l用四位尾数的浮点数计算∑要求分别(1按递增顺序和(2)按递减顺序相加 所得结果不同,为什:?哪个更接近真值?
《计算方法》习题
习题二 1.用高斯消让法解下列方程组,并求其系数行列式的值 x1十3:2+3x3=5 (1)2x+32+5x3=5 (2)x1+4x2-2x2+3x4=6 2x1+2x2 1+42+7x3=6 2.已知线性方程组 10-2x1+x2=1 x1+x2=2 的准确解为:a=}-试分别用二位浮点数按无交换的消去法和列主元索法求解 3.已知线性:程组 10-5x1+10-x2+x 2·10 的准确解为:x1= 2·10-5z2 10.=试分别用三位浮点数按无交换消去 法和全主元素法求 4.用紧凑格于解下列方程组 x1-2x2+3x3-4x4=4 7x2+3x3+ 5用A的LC计解解方程组Ax=b,其中 23 0 253-2 7 35 6.证明§2-3理的推论 7.设n阶方阵非奇异并且有LU分解则L和U是唯一的, 8.试证明n阶非奇异方阵A存在唯一的LD分解的充分必要条件是A的各阶顺序 主子矩阵均非奇异 9.设方阵 通过解三个线性方程组Ax=e(=1,2,3)的方法求A
10.设A、B都:n阶方阵,和O分别是n阶单位矩阵和零矩阵求下列3n阶方阵的 逆矩阵: I A O G=O I B 11.用追赶法解下列方程组 12.设方阵 87 75 6 试求A的LD泔解并判断A是否为对称正定矩阵 13.证明:n方阵A是对称正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异的n阶下三角方 L,使得A=LL 14.若A为阶实对称正定矩阵,D是由A的主对角线元素所组成的对角矩阵则D 是对称正定矩阵 15.分别画出满足下列条件的点集,其中x是二维向量: ‖x:≤1,‖x‖≤1,‖x‖∞≤1 16.设方阵 573 0 A=7112 在范数·‖:,|·‖∞的意义下分别计算cond(A),cond(B)/ 1 17 (1)单位矩阵范数等于1; (2)§2-6中的矩阵范数的性质; (3)§2-6中的定理5; (4)§26中条件数的性质 18.设A为非奇异方阵,B是任一奇异方阵则 TA士B≤A 19.若「A<:1,则 ‖I-(-A)-1‖≤ 20.证明 ≤eond(A).4 l.设A为η价非奇异方阵,是A的特征值,证明 cond(A)≥max|4|min入
习题三 1.举出一方私,有偶次重根但不能用对分法求出它的这一偶次重根 2.证明方程x)=x2-2x-5=0在区间(2,3)内有唯一根a.用对分法计算a的近似 值xn时,若要求 ≤方×10 试确定迭代次数 3.方程f(x)x2-3x-1=0在区间(-2,-1),(-1,0)和(1,2)内各有一个根,试用 对分法求此方程的有实根要求绝对误差不超过10- 4.方程x3--1=0在区间[1.4,6内有一根若把方程写成不同的等价形式: (1)x=1+;寸应的迭代公式 +x2;时应的选代公式 1+x2 3)x2 付应的迭代公式 判断是否满足迭代的收敛条件,并选择一种最好的选代公式,以x0=1.5为初始近似,求出 方程的近似根,并要求具有五位有效数字 5.用 Newton法求下列问题的解 )x3-x2-x…1=0的正根 (2)方程2x=9的所有根 (3)方程 的最小正根 6.用 Newton:求正数c的平方根√的迭代公式x1=1(x,+c/x,),设x为不等 于√c的正数,试讯羽其迭代序列{xn}具有下列性质 (2)序列{x}严单调递减 (3)误差 c满足条件 证明§3-4定理2和定理 8.用双点割线法和单点割线法求第5题中各问题的解 9.证明§3-5中定理 0.证明§3中定理1
习题四 1.证明§4-1定理2 2.分别用雅可1选代法和赛德尔迭代法解下列方程组 8x;-3x2+2x3=20 2x1+10x2-x3=15 x1-2x2+5x3=10 2x1+x2+4x3=12 取初向量xO=(0,00),计算结果精确到三位小数 3.分别用雅可迭代法赛德尔迭代法和松弛法(=1.46)解方程组 2-100 00-12 取初始向量x=(11,1,1),精确到10-3 4.分别用赛德选代法与松弛法(a=1.25)求解方程组 取x()=(1,1,1,迭代7次,并比较它们的计算结果 5.已知线性方程组 x1+2x2+4x=56 2x1+8x2+x3=-4 20x:-x2+2x3=74 写出能保证收敘赛德尔迭代公式的分量形式,并说明收敛的依据 6.设线性六程组Ax=b的系数方阵分别为 11 2-11 (2)A=111 试分别讨论雅可选代法和赛德尔选代法的敛散性 7.问a取什值时,用赛德尔迭代法解 b e 是收敛的? 8.已知线性;程组 x1+0.5x2=0.5 试证明用简单迭f法解此方程组时是收敛的;若将此方程组中两个方程对换,再证明对换后 的方程组用简单迷代法解时是发散的 9.设Ax=b系数矩阵