§6-3 Newton插值 、线性 Newton插值 假设已知。=f(x)yn1=f(x1),求M1(x使得N(x0)=y0,N(x1)=n 令N1(x)=C0+C1(x-x) 由N1(x0)=yo得 由N1(x1)=y,得 yo+C1(x1-x0)=y1 由此有 yi-yo XI
§6-3 Newton插值 一、线性Newton插值 ( ) ( ) (1) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) , ( ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 x x x x y y N x y x x y y C y C x x y N x y C y N x y N x C C x x y f x y f x N x N x y N x y − − − = + − − = + − = = = = = + − = = = = 由此有 由 得 由 得 令 假设已知 求 使得
二、二次 Newton插值 假设已知y=f(x,y1=f(x1)y2=f(x2)求N2(x)使得N2(x)=y, N2(x1)=y2N2(x2)=y2 令N2(x)=C0+C1(x-x0)+C2(x-x0)(x-x1) 由M1(x0)=y,得 由N(x1)=y,得 yi-yo xI=xo 由N2(x2)=y2,得 y2-V yI-yO x2-x xI X-X 由此有
二、二次Newton插值 由此有 由 得 由 得 由 得 令 假设已知 求 使得 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 2 2 2 2 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 2 0 1 2 1 1 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) , x x x x y y x x y y C N x y x x y y C N x y C y N x y N x C C x x C x x x x N x y N x y y f x y f x y f x N x N x y − − − − − − = = − − = = = = = + − + − − = = = = = =
y2-y1 Ji-y N2(x)=y0+ yI-yO X-xo+ (x-x0(x-x1)(2) XI 三、n次 Newton插值 定义1.设f(x)在互异的节点x处的函数值为f, =0,1,…,n称 flx,,x, f-∫ 为(x)关于节点x,x,一阶差商(均差) fx,xg-fx ,x, I (≠j≠k) 为f(x)关于x,x,x的二阶差商
( ) ( ) ( )( ) (2) 0 1 2 0 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 1 0 1 0 2 0 x x x x x x x x y y x x y y x x x x y y N x y − − − − − − − − − + − − = + 三、n次Newton插值 称 定义1. i n f x x f i i 0,1, , ( ) , = 设 在互异的节点 处的函数值为 [ , ] (i j) x x f f f x x i j i j i j − − = 为 ( )关于节点 , 一阶差商(均差) i j f x x x ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i j k x x f x x f x x f x x x k j i k i j i j k − − = 为f (x)关于xi , xj , xk 的二阶差商
依此类推 f[xn,x1灯…x2]一fxx,…,x2,x] X 为/(x)关于节点x,x…,x,x的阶差商 显然 flo -f[x0,x1;…,x2,xk k-1 k
显然 [ , , , , ] 0 1 k 1 k f x x x x − k k k k k x x f x x x f x x x x − − = − − − 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ] 为f (x)关于节点xi 0 , xi 1 , , xi k−1 , xi k 的k阶差商 [ , , , , ] 0 1 k 1 k i i i i f x x x x − k k k k k i i i i i i i i i x x f x x x f x x x x − − = − − − 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ] 依此类推
差商的计算方法(差商表) xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商 x x [x0,x f[ 01 X,,xX fl f(x2) x3 f(x3) 零阶差商
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 0 0 x f x x f x x f x x f x xk f xk 一阶差商 二阶差商 三阶差商 差商的计算方法(差商表): [ , ] 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , , ] 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , , ] 0 1 2 3 f x x x x 零阶差商