【1.4】求证关于算符的以下几个定理 (1)若[4，B]≠0，a是一个实参量，求证 eBe=(eBe-) (2)在上述条件下，求证 e““=B+a4: guLaal+ (3)设f(B)是算符B的函数，求证 eaf(B)ea=f(eBe-) 【证明】(1)当=1时，有 eBe=eBe 把乘积右端(ea4Beal)P展开成e4Bea的连乘积，并利用条件eae-at=l,得 (eBea)”=eBeeBeu.…eBe =eaBB…BBea=eBe (2)令F(a)=eBea,展开成a的幂级数公式，是 ra-rer 易求出展开系数分别为 F(0)=B 85=(4a-Ra4-k 恶-k 把以下展开系数代入级数式中，得到结论。特别当[A,B=0,有结果是 eBe-a=B (3)令fB)=2CB
6 【1.4】求证关于算符的以下几个定理 （1）若[ ] A, B =/ 0，a 是一个实参量，求证 aA aA aA aA n e Be (e Be ) − − = （2）在上述条件下，求证 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] +KK = + + + − A A A B a A A B a e Be B a A B aA aA , , , 3! , , 2! , 3 2 （3）设 f (B) 是算符 B 的函数，求证 ( ) ( ) aA aA aA aA e f B e f e Be− = 【证明】（1）当 n=1 时，有 aA aA aA aA e Be e Be − − = 把乘积右端 aA aA n (e Be ) − 展开成 aA aA e Be− 的连乘积，并利用条件 = 1 aA −aA e e ，得 aA aA aA n aA aA aA n aA aA aA aA aA aA e BB BBe e B e e Be e Be e Be e Be − − − − − − = = = L ( ) L （2）令 aA aA F a e Be− ( ) = ，展开成a 的幂级数公式，是 n n a n a n a F a F a 0 ! 1 ( ) ( ) ∑ = ∂ ∂ = 易求出展开系数分别为 [ ] [ ] A [ ] A B a F AF a F a A A B a F F B a a a , , ( ( ) ( ) , (0) 2 0 2 0 0 = ∂ ∂ = − = ∂ ∂ = = = = 把以下展开系数代入级数式中，得到结论。特别当[A, B] = 0，有结果是 e Be B aA aA = − （3）令 ∑= = x n n n f B C B 0 ( )
利用结论(1)，有 e“fBe-CeBe =∑c(eBe)° =f(eaBe-a 证毕 【1,5】设算符A,B满足条件【4，B川=0，IA,BB]=C(常数)， 求证e=ee"e 【i证明】令@)=eeme卓l咖 则 @=ee-e。uw 6 +e中Bee。lp +eee(←adL.Belw +eee当时ew(--alld.B]B0 由于算符的不对易性质，在求导运算时，算符的位置不能随意交换。其中第一项中的 e加Aea,在算符A左边插入ebe Ae-Ba=l,其中emAe如部分，利用13题(2)式，并 注意到条件ⅡA,BB=C,得到 e-de"=4+al4.B+. 于是第一项为 e"e+d4.B]+4.Bx eueuly (2) 把上式与(1)中的第二项合并，得
7 利用结论（1），有 aA aA aA aA n n n aA n aA x n aA aA n f e Be C e Be e f B e C e B e − − ∞ = − = − = = = ∑ ∑ ( ( ) ( ) 0 0 证毕 【1.5】设算符 A，B 满足条件[ ] [ ] A, B , A = 0,[[A, B], B] = C(常数)， 求证 [ ] A B [ ] [ ] A B B A B A B e e e e e , , 3 1 , 2 1 − − + = 。 【证明】令 [ ] [ ] [ ] 2 3 , , 3 1 , 2 1 ( ) A B a A B B a Aa Ba f a e e e e − − = 则 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] [ ] , , ) (1) ( , ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 e e e e a A B B e e e a A B e e Be e e e Ae e e da df a A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba + − + − + = − − − − − − − − 由于算符的不对易性质，在求导运算时，算符的位置不能随意交换。其中第一项中的 Aa Ba e Ae ，在算符 A 左边插入 = 1 Ba −Ba e Ae ，其中 Ba Aa e Ae − 部分，利用 1.3 题（2）式，并 注意到条件[ ] [ ] A, B , B = C, 得到 [ ] [ ] [ ] A B B a e Ae A a A B Ba Aa , , 2 , 2 = + + − 于是第一项为 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2) , , 2 , 2 3 , , 3 1 , 2 1 2 A B a A B B a Aa Ba e e A B B a e e A a A B − − ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + 把上式与（1）中的第二项合并，得
e"e4+dl4.4.+Bx e邮。 =eeew。wa+da.+c+Blg eew ee (4+dd.B+C+B ee(+dd,aC+) =f(a)(A+alA.B]+a-C+B) (3) 至于(1)式中的第三、四项，利用条件【A,BB=C,得出为 fald4Bl-a2c2） 多 由(3)与(4)式，得 df(a)-f(a)A+B) (5) da 完成(5)式对a的积分，然后令=l,得到 ets =efele 【1.6】轨道角动量算符的定义为L=x×P,求证L,L,在坐标表象与动量表象的矩阵元分 别是 r内p-m ef品品 6P'-P)+ 景景r-m 号是+号--
8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] , (3) , , 2 , , , 2 , 2 2 , , 3 1 , 2 1 3 1 2 , 2 1 3 1 , 2 1 2 , 2 1 , 2 1 , , 3 1 , 2 1 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 f a A a A B a C B e e e e A a A B a C B e e e A a A B a C B e e e C B a e e e e A a A B e e A B B B a e e A a A B A B a A B B a Aa Ba A B a Ca Aa Ba A B a Ca A B a A B a Aa Ba A B a A B B a Aa Ba = + + + = + + + = + + + ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + − − − − − − − − − 至于（1）式中的第三、四项，利用条件[[A, B], B] = C ，得出为 ( [ ] ) 2 2 f (a) − a A, B − a C （4） 由（3）与（4）式，得 f a ( ) A B da df a = ( ) + ( ) （5） 完成（5）式对 a 的积分，然后令 a=1，得到 [ ] A B [ ] [ ] A B B A B A B e e e e e , , 3 1 , 2 1 − − + = 【1.6】轨道角动量算符的定义为 L = x × P ，求证 L Lz , 2 在坐标表象与动量表象的矩阵元分 别是 ( ') ( ') 2 ( ); ( ) ( ), 2 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 ' ' x x x y y x x z z x z y y x L x z x x y x x x L x i y P P p p P P p P p P P P p P p P L P P P P p P p P L P i P z x y x y y y x x y y y y y x y z y − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − δ δ δ δ δ h h h h h
【解】由L=x×P给出 L,=yP:-=P, Ly ==P:-xP: L:=xP,-yP 计算在动量表象中的矩阵元。其中矩阵元 (PP=P边-pP=Pp-P叫 利用基本关系式动p)=-hp以引p)=plp)得到 r=廊P品+廊e品9 a(品rp-品小 品吟 同理给出 Pk,=品-e品P-P 因而有 闪g7hr- 2 6(P-P) 然后在坐标表象计算知降元，利用基本关系+h品，动=给出电阵元
9 【解】由 L = x × P 给出 z y x y x z x z y L xP yP L zP xP L yP zP = − = − = − 计算在动量表象中的矩阵元。其中矩阵元 P Lz P P xˆPˆ y yˆPˆ x P P Pˆ y xˆ Pˆ x yˆ P ' ' ' = − = − 利用基本关系式 p P p p p p q p i i = i ∂ ∂ = − ˆ ˆ h , 得到 ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' P P p P p i P P p P P p i p P p P P p i P P p P i p P p P L P i p P x y y x x y x x x y y x x z y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ∂ ∂ + ∂ ∂ = − h δ h h h h 同理给出 ( ) ( ) ' ' ' ' P P p P p P L P i P P P p P p P L P i P z x x y z y z z x y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = δ δ h h 因而有 P P 。 p p P P p P p P P P p P p P L P P x y x y y y x x y x x z y 2 ( ) ( ) ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = − δ δ h h 然后在坐标表象计算矩阵元。利用基本关系 q q p q i ∂ ∂ ˆ ≈ + h ， x x x x i = i ˆ 给出矩阵元 是
(xx=x逆-x) =m到+1会 同理我们有 =是-：8}c-0 =8- -是是号--刘 【1】受理子承货的哈害餐京行务川一六+，分对在参基表家与动量发金给本 议程H〉=Ep〉的具体形式。 【解】把哈密顿算符投影到坐标表象，有 (xHw）=-(xEw） 其中 aw）=2）=h2国 ()--v Ox2 (xΨ(xw）=(xw(x) 得到坐标表象中的薛定谔方程 V((x)=Ev() 薛定谔方程在在动量表象的投影是 (plHw〉-(plEw〉 其中
10 ( ') ' ' ˆ ˆ ˆ ' ' ˆ x x y x x i y x x x i y x y i x x x L x x xP yP x z y x − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = − = − h δ h h 同理我们有 ' ( ') ' ( ') x x z y y x L x i z x x x z z x L x i x x y − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = δ δ h h 而 ' ( ') 2 2 2 2 2 x x x y y x x z z x z y y x L x z − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = −h δ 【1.7】设量子系统的哈密顿算符为 ( ) 2 2 V x m p H − + ，分别在坐标表象与动量表象给出本征 议程 H ψ = Eψ 的具体形式。 【解】把哈密顿算符投影到坐标表象，有 x H ψ = x Eψ 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x V x V x x x x x P x x x i x x P i ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = ∂ ∂ = − ∂ ∂ = ∂ ∂ = h h h 得到坐标表象中的薛定谔方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 V x x E x x x ψ ψ ψ + = ∂ ∂ − h 薛定谔方程在在动量表象的投影是 p H ψ = p Eψ 其中