Oo- sin2a= 0052(a+90)a-τ+p, g+00 即通过受力物体内任一点的两个互相垂直的畿面上,其剪应力大 小相等方向相反这个规律称为剪应力互等定律或剪应力成对定 律( Law of shearing stress in pairs)。 §2-5拉伸(压缩)时的变形 材料在外力作用下将产生变形试验表明,当外力未超过一定 限度时绝大多数材料在外力撤除后,变形消失,恢复原状。材料的 这种性质称为弹性( Elasticity)。外力撤除后能够消失的变形,称 为弹性变形( Elastic de formation。而外力撤除后不能消失,仍 然保留在物体内的变形,则称为塑性变形( piastic deformation) 或残余变形( Permanent d formation)。一般情况下,工程设计 中要求构件只发生弹性变形,而不允许发生塑性变形。在材料力 学中,主要研究杆件的弹性变形计算问题。 (一)纵向变形与虎克定律 杆件在轴向拉力作用下,其纵向尺寸将伸长,而横向尺寸将缩 短。现以图2-15圆杆为例,设杆原长为l,直径为d,减面面积为 A。在拉力P作用下,杆长由l变为l1,则 △l=l1-l (2-7 称为杆件的伸长( Elongation)。由于轴向拉伸,杆的纵向变形沿 轴线均匀分布故其纵向线应变( Axial strain)为 (2:8) 29
因31 实验研究指出在弹性范醒内( Elastic: range)析件的伸长 △与所加的拉力P及籽长L成正比,而与杆件擔面面积A成 反比,即 △o 引入与杆件材料有关的比例常数郾,且使P=N,可得 △l=EA 上式是由英国物理学家虎克( Robert Hooke)于1660年发现的, 故称为虎克定律( Hookes Low)将(2)、(2=8)式代入(2三9) 式,可得 E (2-10) 这是虎克定律的另一种形式,它表明:在弹性范内,面上正 应力σ与纵向线应变e成正比比例常数E,称为拉压时材料的 弹性模量( Elastic modulus)。其数值随不同材料而异,其量纲与 应力的量纲相同。它的大小表示材料抵抗弹性变形的能力,E越 大,则杆越不易产生伸长变形。 从(2三3)式可,分母EA越大,则杆的伸长变形△越 小,所以EA又称为杆件载面的抗拉压刚度( Axial rigidity of section),它表示杆件抵抗拉压变形的能力。 (二)横向变形( Lateral deformation) 30
若杆件变形前的直径为d,受拉后直径缩小为d1,则杆的横 向收缩为 △d=d1-d, 其向应变( Lateral strain)为 add 实验结果指出,在弹性范回内,镜向应变与纵向应变之比的绝 对为一常数,即 称为横向变形系数或泊桑比(Pos9n' s rtaio),它是一个无量 纲的量,其值随不同材料而异,可由材料试验测定。 因为e与e的符号总是相反,故有 e="AEIo (2=13) 弹性模量和泊桑比都是表示材料弹性性质的重要常数。表 2-1中给出了一些常用材料的E和值。 袭2-1常用材料的弹性摸置和泊桑比 材料名称 E(GPa) 低碳钢 200~210 0.25~0.33 16锰 200~220 0.26~0.33 合金钢 t90~220 0.24~0.33 灰口、白口铸铁 115~120 0.23~027 可锻铁 155 硬铝合金 71 0.3 铜及其合金 74~130 0.3~0.42 混凝上 14.6~38 0,16~0,18 木材(纹 10~12 徐胶 0.008 0,47 31
例题2-5 试求例题2-1中钢杆的总伸长。已知钢的弹性模量为 E=200GPa 设钢杆工作在弹性范围内)。 解:由于各段杆的轴力和长度均不同,故需根据(239)式分 别计算各段杆的伸长然后相加,即 △=△l1+42+A =E(N+N2+N) 60×103×1+(-20×103)X2+30×103×1,5] 200×10°×500×10 =0,65X10-8m=065mm。 例题2-8 欲测桁架受力后某杆内的应力,可于受力前在杆上装好测量 变形的引伸仪。加力后由引钟仪演出杆的伸长变形,然后计算 杆的应力。 在图216的BD杆,装育标距l=10cm的引伸仪G,加力 后测得伸长△l=-004mm,已知杆的弹性模量E=200GPa。 试求BD杆内的正应力。 P P D 图2-18 ①引伸仪结构及到量变形原理可参阅上海交通大学编,“材料力学实验p79 32·
解:由测量结果可算出BD杆的线应变为 0。04 100 4×104 再由虎克定律,可得 a=E·e=200×109-4×104)=-80MPa(压应力)。 例题2-7 求例题24中设计的托架,在P=60kN作用下结点B的位 移8如图217(a所示。已知 钢杆AB:d=3cm,E,=200GPa 方木杆BC:a=15cm,E,=10GPa 解:在P作用下,AB杆受到拉力N,=100kN,其伸长为 N I △,=E∴A 100×103×3 200×10°×(7,07×10-4 =2.12mm3 BC杆受到压力N=80kN,其编短量为 △ln=Nl 80×103×2。4 E..A. =0;8rm 10×10°×152×10-4 托架变形后结点B将位移到新節位B点。为了确定B 点,可分别以A、C点为圆心以AB1、CB2为半径作圆弧,两圆 弧的交点B聊为绪点新的位m图2717(b)考虑到两杆的变 形△比杆的原长l小得多,因此,可以用切线代替圆弧来确定 结点B的新位置,即过B1与B2分别作垂线BB与B2B,两 垂线的交点B即为结点新位置,见图2-17(c)。 现将结点B的位移量B=BB7分解为水平分量,与垂直分 量8,即 82=M=0。8mm, 8,=△2+△2=△2,sina+(Al+△:sa)银a 212x13+(,95+212×24)(2:4) 8