18 或 E.=E (1-69) 即是在通过分界面时电矢量的切向分量是连续的。 同样，在没有面电流的情况下，由麦克斯书方程组第四式，也可得到 H,,I, (1-70) 总而言之，在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的但在没有面电荷和面电流的情况下， B和D的法向分量以及H和E的切向分量则是连续的。 §1-7光在二透明电介质分界面上的反射和折射 光在二透明电介质分界面上的反射和折射，实质上是光波的电磁场与物质相互作用的向 题，向题的精确处理是比较复杂的。我们知道，介质由原子和分子组成，而原子和分子则由 原子核和绕核运动的电子构成，当光被的电磁场入射到介质时，就会引起场和介质中带电粒 子的相互作用。比较轻的带电粒子 电子可以依着光波电矢量的振动步调振动起来，由于 电子的振动，原子将成为振荡电偶极子而辐射出次电磁波一次波，它们彼此是相干的，与 入射波也是相干的，要完备的研究光的反射、折射、色散和散射等现都必须考感这种干 涉。不过，这种计算相当复杂，已超出本书范围。在这里将采取比较简单的方法：不考虑个 别分子、原子的性质，而用介质的介电系数、磁导率和电导率表示大盛分子的平均作用，根据麦 克斯韦方程组和电磁杨的边界条件，研究平面光波在二介质分界面上的反射和折射的问题。 一、反射定律和折射定律 反射定律和折射定律是我们熟知的。 当一个平面光波射到两种不同介质的分界面上时， 将分成两个波：一个透射波和一个反射波。从电磁场的边界条件也可以证明这两个波的存 在，并求出它们的传播方向和振梧关系式。 假设平面光波 E=Aexp[-i(wr-k·r)】 沿着入射面x0z投射到折射率分别为”，和 n,的二介质的分界面oy上，以、0：和 0,分别表示入射角、反射角和折射角，如图 1-16所示。E的方向不一定与入射面垂直 或平行，但可以把E分解为垂直于入射面的 42 分量E,和平行入射面的分量E。E,的正 向沿着y轴方向，即与图面垂直并指向读 者，E。的正向如图所示（只要在整个讨论过 程中保持统一规定，E,和E,的正向可选为 上述方向，也可选为与之相反的方向而不影 响结果的普遍性)。下面我们只讨论电矢量 图1-16平面波人射到分界面x0y 垂直于入射面的光波在分界面上的反射与折射，对于电矢量平行于入射面的光被的情形，讨 论方法完全类似。 以E、E.和E,分别表示入射被、 反射波和折射波的垂直于入射面的电矢量分量，它
们的波动公式应为 E,=E,=A,eic41012w12 Ei.=Ei=ic 〉(1-71) E=E=Arelc hatasia+com)- 式中、和®：分别为入射波、反射波和折射波的角频率，，和k,分为平面波在第 介质和第二介质中的波数。根据电磁场的边界条件，E和H的切向分盘在界面连续，即 Eiy+Eiy=E (1-72) H+H=H (1-73) 将式(1-71)中2=0的E、E1,和E,代入式(1-72)，得到 de(h Mie(=A:.e(g (1-74) 将式(1-74)对：徽分，有 @,A1ea,0,-+io,e*2i-0)=i⑩A,e*5i12) (1-75 比较式(1-74)和(1-75)，易见 0,=0=0， (1-7G) 即反射波、折射波与入射波的频率相同。同时，由于电磁场的边界条件对于×和：的任何仙 恒成立，所以式(1-T4)各项的指数必相等，因此 sin0,=k sino=k:sin0 由前一等式，得到 9,=81 (1-77) 表明入射角等于反射角。由后一等式，得到 (1-78) 式中n为第二介质对第一介质的相对折射率。上式是著名的折射定律，或称所浮耳(Sc) 定律。 二、菲涅耳公式 下面来导出关于反射波和折射波与入射波振幅比值的关系式一非涅耳公式。 在平面波的电矢量垂直于入射面的情形，E,=E,=0,由麦克斯书方程组(1-15)第三式 得到 0- òx 将式(1-73)对时间微分，得 +. 根据式1-79)中第一式，以片8，代楼上式中的，化成
20 迟+0E=E 将式(1-71)中对应值代入微商，得到（对于：=0） k,cos04-kcos01= (1-80 由于式(1-74)和(1-80)各项指数相等，因而 Au+Ai.=Au (1-81) k,cns0,A1,-k,c0501A1.=k:C0s02A: 应用折射定律(1-78)，有 cos0,sin,(A)=sine,. (1-82) 将式(1-81)中A.值代入，得到 (-名）wna-(+会}naoa, 由此得出反射波和入射波的振幅之比 或写成 名=品：的 (1-83 ,称为垂直分量的反射系数。将式(1-81)中4，的值代入式1-82)，有 (2-会}oa,snai=na,owia名 因此，折射波和入射波的振幅之比一垂直分量的透射系数 名8器 (1-84) 式(183)和(1-84)就是电矢量垂直于入射面的非涅耳公式。用类似的推算也可求得电矢量平 行于入射面的公式 ,=A A 2=tan0,-,) tan(0,+2) 、(1-85) t,=名=(0，十9cos0-9D (1-86) ,和，称为平行分量的反射系数和透射系数，它们是反射波和折射波平行分量与入射波平 行分量的振幅之比。 从式(1-83)可以看出，当n,<4(光从光疏介质射到光密介质)时，由于8>0，故A.和 4总是异号。这表示电矢量垂直于入射面的分量在分界面上反射时，位相发生突变。因 此当E1,在入射波中取正方向时，E.在反射波中突变为负方向。对于A和A,情况稍为 复杂一些，由式(1-85)，当0，+0<2时，A,和A同号，而当，+0>2时，两者异号。 前一种情况表示在分界面上E和E,同取正方向或负方向，后一种情况表示它们分别取正 (负)方向和负正)方向。当，+：=之时，0=0，入射光平行分量的反射系数为零，因而
反射光中没有平行于入射面的分量。图1-17绘出了三种不同入射角情况下在分界面反射时电 矢量的取向情况，这里假设入射光是电矢量E:所表示的偏振光，反射光电矢量E:的准确 取向应该根据菲涅耳公式计算出A.和4。来决定，图中是示意画出的。由图1-17可以看 出，在入射角很小（或正入射）和入射角接近90（掠入射）时，E,和E,E1,和E,的方 向正好相反，因此E:和E的取向也正好相反，表明在这两种情况下，反射光电矢量发生位 相突变。由此可以得出结论：当平面波在接近正入射或掠入射下从光疏介质与光密介质的 分界面反射时，反射光的电矢量相对于入射光的电矢量发生了x的位相突变。这一结论在讨 论光的干涉现象时是极为重要的。我们通常把反射时发生的位相突变称为“半波损失”，意 即反射时损失了半个被长。 E a)n1<n281+02< b)n1<m201+02= c)n1<n281+82>z 图1-1？不同入射角下平面波在分界面反射时电矢量收向的变化 如果光波是从光密介质入射到光疏介质(m,>m:),对反射被的s分量和p分量进行同样 的讨论，所得到的结论将与”，<%，的情况相反，因而在正入射时反射波电矢量没有的位相 突变，而掠入射时发生全反射现象（见下节）。对于折射波，则不论那一种情况，电矢最都不 发生位相突变。 非湿耳公式(1-83)、1-84)、(1-85)和(1-86)在正入射或入射角很小时有很简单的形 式 (1-87) A n+1 (1-88) 密号 (1-89
22 化n (1-90) 因为这时tan sin0≈9， 三、反射率花透射率 现在讨论入射波、反射波和折射波的能量关系。我们知道，平面波的光强度由下式给出 〔见式(1-65)) 1层 它表示单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的 能量值，如果入射波的强度记为1：，则每秒入射到 分界面单位面积上的能量是（参考图1-18） =1,co0,=24cos 而反射波和折射被每秒从分界面单位面积带走的能量 是 wi=o0,=任4 图1-18光束酸面积在反射和 w,=l,eo0,=2√臣4eos9, 射时的变化（在分界面上光束裙 面积为1) 式中：和【：分别为反射波和折射波的强度。因此，在分界面上反射波、折射波的能量流与 入射波的能量流之比为 (1-91) 82cos0:4 n,cos0&A月 n,cos01A日 (1-92) 〔式(1-92)中利用了对于非磁性介质的近似“，≈4)R和T分别称为反射率和透射率。将菲涅 耳公式代入上面二式，可得到光矢量垂直于入射面的偏振光的反射率和透射率为 R=8+的 (1-93) (1-94)】 光矢量平行于入射面的侧振光的反射率和透射率为 tan(0,-0,) R,=tan(0,+0 (1-95) (1-96) 容易看出