稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.2006.01.010 第28卷第1期 北京科技大学学报 Vol.28 No.1 2006年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2006 稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 梁晨郑连存陈琛 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要建立了稳态胞晶生长温度场数学模型.通过在复数域内应用分离变量法对控制方程进行 求解，得到了问题的解析解.讨论了在某些特定情形下的能量传输特性. 关键词晶体生长；稳态；胞品；傅立叶级数 分类号TG111.4 晶体生长理论在当今材料科学的研究中有着 2方程的求解 十分重要的地位和意义，很多科学工作者都对其 进行研究，并取得了很多有意义的成果，然而， 注意到如果在实数范围内用分离变量法解方 由于晶体生长是一种非常复杂的过程，涉及到质 程(1)，其固有值为实数，不能满足周期性边界条 量传输、热量传输和动量传输，其理论的发展是比 件(2)，因此不能采用常规的分离变量法求解.为 较缓慢的，晶体生长的内在规律至今并没有被揭 解决这个问题，设T(x,之)为一复数函数.首先 示4].晶体生长可分为三种形式：平面晶，胞晶 在复数域内对上述方程进行求解，然后分离解的 和柱状晶.生长过程经历两个状态：非稳态和稳 实部和虚部以得到它的实值解.首先将复数函数 态，本文研究的是在稳态情形下热量传输过程的 T(x,z)设为： 特性 T(I,z)=To+T(x,z) (6) 则问题(1)~(5)化为： 1数学模型的建立 N0x2+a2+V.号1+ 设所研究的问题为二维稳态胞晶生长.由扩 +y,要-0) T(z,z)=T(z+2l,z) (2') 散和对流引起的温度交化为△T和V lim T(x,z)=0 (3) y,,其中。为温度扩散系数边界条件可设 T(x,0)=T(-x,0) (4) T(z,0)=f(z)-To (5) 为：T(x,z)=T(x+2l,z)(周期性)；limT 将T(x,z)分离为： (x,x)=To(远场)；T(x,0)=T(-x,0)(对称 T(z,z)=u(x)w(z) (7) 性)；T(x,0)=f(x)(初始条件).对于二维稳态 将其代入式(1)，得： 胞晶生长建立如下数学模型56] au"(z)+Vu(z)aw"(:)+Vw'(z)=k a(++.+y-0a) u(x） w(z) 这样就得到两个常微分方程： T(z,z)=T(x+21,z) (2) au(x)+V,u'(x)-ku(x)=0(8) lim T(x,z)=To (3) aw"(z）+V'(z）+kw(x）=0(9) T(x,0)=T(-x,0) (4) 将式(7)代入边界条件(2)，得u(x+2l)= T(x,0)=f(x) (5) u(x).将其与式(8)联立，得到如下固有值问题： au"(x)+Vu'(x)-ku(x)=0 收精日期：2004-10-12修回日期：2004-1205 (10) 基金项目：国家自然科学基金的资助项目(No.50476083):北京 u(x+21)=u(x) 科技大学研究生院研究基金资助项目 由于u(X)是周期为l的函数，因此设： 作者简介：梁晨(1981一)，男，硕士：郑连存(1957一)，男，教授， 博士 空ce% (11)

第 卷 第 期 肠 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 五 即 邺留 劝 。 稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 梁 晨 郑连 存 陈 深 北京科技大学应用科学学院 ， 北京 摘 要 建立 了稳态胞 晶生长温度场数学模型 通过在复数域 内应 用分离变量法对控制方程进行 求解 ， 得到 了问题的解析解 讨论 了在某些特定情形下 的能量传输特性 关键词 晶体生长 稳态 胞晶 傅立 叶级数 分类号 晶体生长理论在 当今材料科学 的研 究中有着 十分重要 的地 位 和 意 义 ， 很 多 科 学 工 作 者 都 对其 进行研 究 ， 并 取 得 了很 多 有 意 义 的 成 果 然 而 ， 由于 晶体生长 是 一 种非 常复杂 的过 程 ， 涉及 到 质 量传输 、 热量传输和 动量传输 ， 其理论 的发 展是 比 较缓慢 的 ， 晶体 生 长 的 内在规律 至 今并 没 有 被揭 示 〔‘川 晶体生长 可分 为 三 种形 式 平 面 晶 ， 胞 晶 和 柱状 晶 生 长 过 程 经 历两 个 状 态 非 稳 态 和 稳 态 本文研究的是在稳态情形 下 热 量 传输过程 的 特性 方程的求解 注意到如果在实数 范 围内用分 离变量法解方 程 ， 其固有值为 实数 ， 不 能满足 周期性边 界条 件 ， 因此 不能采用常规 的分 离变 量法 求解 为 解决这个 间题 ， 设 ， 为一 复数 函数 首先 在复数域 内对 上 述 方 程 进行 求解 ， 然后 分离解 的 实部和 虚部 以得到 它 的实值解 首先将复数函数 ， 设 为 数学模型的建立 设所研究的问题为二维 稳 态胞 晶生 长 散和 对 流 引 起 的 温 度 变 化 为 △ 和 ， 则 问题 一 化为 沪丁 丁 硕 十 万， “ ， · 畜 十 云 ， ， 叮 ， 其 中 为 温 度扩 散 系数 边 界 条 件可设 ， 之 ， 之 周 期性 。 远 场 ， 一 ， 对 称 一 ， 一 ‘ ， ， ‘ ， 九巧 性 ， 初 始条 件 对 于 二 维 稳 态 胞 晶生 长建立如下数学 模型 阶‘ 〕 了护 护 ， ， ， ， “ 硕 十 万 “ “ 丽 十 二 丽 将 ， 分离为 ， 将其代入式 ’ ， 得 ， ‘ ，’ ’ 一 切 一 这样就得到 两个常微分方程 、 ， ， ‘沙‘、、产矛 内 产、声、， ， 。 、声 夕 月 、、 ， 一 ， 、了了 呀以、︸ ， ’， ’ 一 走 二 ， 切 ‘ 寿二 二 将式 代 入 边 界 条 件 ’ ， 得 将其与式 联立 ， 得 到 如下 固有值问题 收稿日期 一 一 修回 日期 一 七 墓金项 目 国家 自然科学基金 的资助 项 目 北 京 科技大学研究生院研究基金资助项 目 作者简介 梁晨 一 ， 男 ， 硕士 郑连存 一 ， 男 ， 教授 ， 博士 ’ ’ 一 乏 “ 由于 是周期为 的函数 ， 因此设 ， 、 书 。 “ 气苗 一 ‘ 日 七 ， 华 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2006．01．010

Vol.28 No.1 柔展等：稳态胞晶生长控制方程的解析解及其传输行为 ·43· 其中Cm为待定常数.将式(11)带入方程(8)得： T(x,x)=T0+ 2c.e[-a2+y,-=0 宫…小c學+5 (12) (21) 由三角函数系的正交性有： c.+停到] e2+v.-k=0 利用边界条件(4)和(5)，最终得到问题(1)~(5) 的解析解： 从而求得 k=-a个2+y T()=To+doe (13) 再将其带入式(8)得： ()+V()+[o-v0 其中，d山=∫，fxa-T (14) 方程(14)有如下形式的解： 3给定初始条件的具体例子 .(x)=C.e"+C2e (15) 给定初始条件：T(x,0)=cos2x,则有如下 其中，C1m,C2,n为常数.利用周期性条件(10)，解 方程： (15)可以简化为： ,(z)=C.e (16) +++v.证-02s) a 这就是方程(8)与边界条件(10)的解 T(x,之)=T(x+2l,z) (24) 将(13)带入方程(9)，得： lim T(x,z)=To (25) w(e)+v,u'(e)+[-a(2+ T(x,0)=cos2x (26) Y.w(e)=0 由解(22)，可得问题(23)~(26)的解： (17) 方程(17)有如下形式的解： Tz,0）=T。+d+月d,u7,=2x w(z)=C3C (18) (27) 其中尝+-兴警=尝专+ 为方便计算，令l=元，则： n=2, 兴行CC…为特定常数有用运场条件 d∫八o2xd-T0=-T limw(之)=0，可得C3=0.因此解(18)简化为： w,(z）=C.ne d4-八，ca2o2dr1 (19) 所以， 其中，=名-+必平 T(x,x)=To(1-e)+ePcos(qz +2x) r a l 将式(16)和(19)相乘，得到： (28) T.()=,(x)w,(z)=Cre(20) 其中，=兰小g=2各 r a 其中，C为待定常数.将上述解的实部和虚部分 图1和图2为解在T0=3,力=一0.2，q= 离再相加，得： 1.5时的图像. -宫e…[G, 从图1中可以看出：在晶体生长过程中，在之 值较小即固液界面附近，温度较低且振荡幅度较 学+cm出+平小 大；随着之值的增加，温度越来越高且振荡也逐 渐衰减，曲线逐渐趋于平缓并向远场温度T0靠 因此， 近

。 梁展等 稚态胞晶生长控制方程的解析解及其传翰行为 其中 ， 为待定常数 将式 带入方程 得 ， 二 。 二竺 厂 、 门 圣 · “ 一 丫 十 丫 ‘ 一 ‘ 」一 ” 二 ， 〕 ‘ 创 、 万， 下 十 乙曰 ， ， 土 「。 土巫丝 卫匹 ， 】 七 ， 一 ， 工 ‘ 月 、 “ ， 巫丝 、 ， 塑 飞 下 ， 口 ‘ ， 司 由三 角函数系的正交性有 从而求得 利用边界条件 和 ， 最 终得 到 问题 一 的解析解 ， 、 ， 二 一 。 一 亏 宁 ‘ · 习浏﹃ 一 十 一 竿 ’ 、 弩 一 一 ， ， 一 竿 ’ 竿 再将其带入式 得 “ ’ 了 一 、 一 ， 弩一 竿 ‘」 一 方程 有如下形式的解 工性丝 丝匹 ，一 、 ， 之 丫 ， 、 ‘ 石 产 、 ， 其 电 、 。 一 剑 ，， 工 一 。 ， “ 。 一 封 华 ， 二 ， ， ‘ ， 二 一 平 一 兰 ， 给定初始条件的具体例子 其中 ， 、 ， ， ， 二 为常数 利用周期性条件 ， 解 可 以 简化为 给定初 始条 件 方程 介 护 沪 “ －士 十’ －于 ， 二 ， 则 有 如 下 刀万 竺 。 二 、 二 仁 ， 户 ’孟 ， 一 刀 ‘ 工 ， 刀 二 豁 豁 一 ‘ ，， 这就是方程 与边界条件 的解 将 带入方程 ， 得 ， 二 ， ， 。 川 二 二 · 二 一 。 竿 ， 竿」 · 一 “ 可得 间题 一 的解 方程 有如下形式的解 由解 ， ， 口 · 。 。 戴 ， 。 。 · 笋 “ · ， 一 ， 。 入，’ ， 。 ‘ ‘ 十 代丁 一从 二 为方便计算 ， 令 二 二 ， 则 赶 二 万厂 十 “ 其中 一 ， ， 又 一 二 －－ 下一 ， ， ， 为待 定常数 ， 利用远场条 件 ， 工 。 」 甲 ， “ 一 二 二 品工 一 ‘ 一 ， 二 ， 可得 因此解 简化 为 ， 一 ， ， 孟，‘ 一 工 ‘ 。 。 二 。 。 二 二 一 兀 一 成 其中 ， 入 二 二 卞 －－ 尸丁 所 以 ， ， 二 。 一 。 。 二 一 一 一，、 一仓匀 将式 和 相乘 ， 得到 丁 ， 矛 ， 二 一 。 ， 二 ， 二 一 ， 竿 ‘· ， · 其中 ， 久 为待定常数 将上述解 的实 部和 虚部分 离再相加 ， 得 其 中， 一 万 图 和 图 认 － 十 ， 为解在 。 二 ， 二 一 ， 。 ， 不‘ ， ，一 互一贡 丫 ‘ ’ 。 争 丝 土几丝 二 权 乙 ， 万， 下 七 ” 、 二 一 之 卞 二 因此 时的图像 从 图 中可以看 出 在 晶体生长过 程 中 ， 在 值较小即固液 界 面 附近 ， 温 度较 低且 振 荡幅度较 大 随 着 值的增 加 ， 温 度越 来越 高且 振 荡 也逐 渐衰减 ， 曲线 逐渐 趋 于 平 缓 并 向远 场 温 度 。 靠 近

·44 北京科技大学学报 2006年第1期 3.0 随着之值的增加，图像的对称轴逐渐偏离，这也 2.5 表明了随着不断向液相靠近，温度T和x的变化 关系.这种对称轴偏离的现象至今并没有人对其 2.0 进行阐述和解释，笔者认为这种现象可能是在生 长初期固液界面上的随机扰动引起的，但其真正 1.0 机理还有待进一步的研究. 0.5 4结论 05101520253035 本文建立了稳态晶体生长温度场的数学模 图1x=0时x一T平面的温度分布 型，并在复数域内用分离变量法得出了温度场控 Flg.1 Distribution of temperature along the z axis at x=0 制方程的解析解，并给出了特殊情形下的热传输 图像.从结果可以看出，温度场是振荡的且随z &r (a) (b) (c) 的增加而逐渐衰减，并在x轴方向上呈周期变 化，揭示了晶体生长达到稳态过程中其形态呈现 周期性的一致发展和温度振荡随坐标的变化特 性 0 参考文献 [1」常国威，王建中，金属凝固过程中的晶体生长与控制.北京： 冶金工业出版杜，2002 4 [2]阀乃本，晶体生长的物理基础，上海：上海科学技术出版社， 1982 [3]Mullins WW,Sekerka R J.Stability of a planar interface dur. -81012-81012 ing solidification of a dilute binary alloy.J Appl Phys,1964, 35:444 图2x=0(a),0.5(b)和1(c)时相应的x-T面的温度分布 [4]Xu JJ.Interface wave theory of solidification-dendritic pattern Flg.2 Distribution of temperatare along the z axis at =0 formation and selection of tip velocity.Phys Rev A,1991, (a,0.5(b),and1(c A15(43):930 由图2可知，当固定？时这完全是一个周期 [5]孟凡梓.晶体生长模式中摄动方法的应用[学位论文】.北 性的图像，即温度在x轴上是周期变化的，这完 京：北京科技大学，2003 [6】陈琛，郑连存，廖福成，等.二维稳态晶体生长的精确解.北 全符合晶体生长的理论.从图2中还可以看出， 京科技大学学报，2003,25(Suppi):4 Solution to the governing equation for dendritic growth and its transfer behavior LIANG Chen,ZHENG Liancun,CHEN Chen Applied Science School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A mathematical model for dendritic growth of steady-state in the temperature field is estab- lished,and the analytical solution is derived in the form of Fourier series from separation of variables in the complex number field.The heat transfer characteristics in some special cases are discussed.Through the figures a clear view can be acquired about the substance of crystal growth. KEY WORDS crystal growth;steady state;dendritic;fourier series

北 京 科 技 大 学 学 报 年第 期 随着 值的增 加 ， 图像 的 对 称轴逐渐偏 离 ， 这 也 表 明了随着不断 向液相靠近 ， 温度 和 的变化 关 系 这种对称轴偏离的现象至 今并没有人对其 进行阐述和解 释 ， 笔 者认 为这 种现 象 可 能是 在 生 长初期 固液界 面 上 的随机扰动 引起 的 ， 但其真正 机理还 有待进一步 的研究 ，‘气 ﹄、﹃ 曰︼嘴工︸ … ‘气 图 工 二 。 时 一 平面的沮度分布 帅 吧 吮 班 加 川 结论 本文建立 了稳态 晶体 生 长 温 度 场 的数 学 模 型 ， 并 在复数域 内用分 离变量法得 出 了温 度 场 控 制方程 的解析 解 ， 并给 出 了特殊情形 下 的热 传输 图像 从结果可 以 看 出 ， 温 度场是 振 荡 的且 随 的增加而 逐渐 衰 减 ， 并 在 工 轴 方 向上 呈 周 期 变 化 ， 揭示 了晶体生 长达 到 稳 态过 程 中其形 态呈 现 周期性 的一 致 发 展 和 温 度 振 荡 随 坐 标 的变 化特 性 参 考 文 献 一 丫节 ‘ 久 一 廿 ‘ 一 礴 汤甩书 二 ， 。 《 和 ‘ 时相应的 一 面 的温度分布 月‘ 地 眼 目加 坛 盆 琴 】 ， ， 仙 《 】 由图 可 知 ， 当固定 二 时这完全是一个周期 〔 〕 性的图像 ， 即 温 度在 二 轴上 是周 期 变化 的 ， 这 完 入 桃 八 良 什 庄 琴 的 禅 拾 从 国 ， 中 环可 以 看 出 ， 常国威 ， 王建中 金属凝 固过程 中的晶体生长与控制 北 京 冶金工业 出版社 阂乃 本 ， 晶体生长的物理基础 ， 上海 上海科学技术出版社 ， ， 吃 沁 ， ， 血 一 ， ， 孟凡梓 晶体生 长模式 中摄动方法 的应用 〔学 位论 文 〕 北 京 北京科技大学 ， 陈深 ， 郑连存 ， 廖福成 ， 等 二 维稳态 晶体 生长的精确解 北 京科技大学学报 ， ， 一 砚 ， 效 ‘ “ ， 月 〔 场 ， 】 ， 一