坐标量:r,0,z V=ui+vi+w'l dr 1 de dz 岛2 od-1d-aΦ ar r a0 r ar rae a d_o)7+1(r)2 ar r ar ra0 k(V×V)= 1 a(rv) 1 a r ar rae 1 aa. 1 a- vaC ar a 4.3球坐标系 坐标量:λ,φ,r V=ui+vj+wk nI=rcospp-, dp dp dt at rcosφ an rao a Va= rcos an r ap a =-1-a0(o)+aro rcos an dr+J/Our I ow a(rv +k--av- a(u cos p r Or coso aa coso aa dg 10d ac r2cos'o222+cos p(cosp an) §5平衡方程与质量守恒原理 l、普遍形式 =a-V·(/V) 含义:物理量f的局地变化由物理量本身的制造或消耗(源汇项)和物理量通量的辐合辐散所引 起。f可以实质量、动量、能量、涡度及散度等物理量。 如果流体内部不存在源汇,则σ=0。称为此物理量是是守恒的(对于封闭系统)
16 坐标量：r，θ，z 1 , , 1 ( 1 1( ) 1 ( )( ) [ ] ( ( ) V ui v j wk dr d dz uv w dt r dt dt d v u w dt t r r z i jk rr z r v r w v u w ru u ij k r z z r rr r rv k V r θ ρρ ρ ρ ρ θ θ θ θ θ θ =+ + == = ∂∂∂ ∂ =+ + + ∂∂∂ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∇Φ = + + ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∇ ⋅ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∇× − + − + − ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ∇× = ∂ ∂ ∇ JG G G G G GG G G GG G G JJG 1 + + r 1 - r 1 u) w V = r z V = 1)u r 2 2 2 2 1 1 ( ) h r rr r r θ ∂ ∂Φ ∂ Φ Φ= + ∂∂ ∂ 4.3 球坐标系 坐标量：λ,φ,r ( ) ( ) 2 2 cos , , cos 1 1 cos 1 1 cos [ ] cos 1 () 1 1 1 [ ] cos co V ui v j wk d d dr ur vr w dt dt dt d uv w dt t r r r i jk r rr u v r w V r rr w rv ur w V ij k r r rr r r λ ϕ ϕ ρρ ρ ρ ρ ϕλ ϕ ϕλ ϕ ϕ ϕλ ϕ ϕ ϕλ =+ + = == ∂ ∂∂∂ =+ + + ∂ ∂∂ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∇Φ = + + ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∇⋅ = + + ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ∇× = − + − + ⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ JG G G G G G G JG JG G G G 2 2 22 2 ( cos ) [ ] s 1 [ cos (cos )] cos h v u r ϕ ϕλ ϕ ϕ ϕ ϕλ ϕ ϕ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ Φ ∂ ∂Φ ∇Φ + ∂ ∂∂ ＝ §5 平衡方程与质量守恒原理 1、普遍形式 ( ) f f V t σ ∂ = −∇⋅ ∂ JG 含义：物理量f的局地变化由物理量本身的制造或消耗（源汇项）和物理量通量的辐合辐散所引 起。f可以实质量、动量、能量、涡度及散度等物理量。 如果流体内部不存在源汇，则σ＝0。称为此物理量是是守恒的（对于封闭系统）
(V)=-V·J df dt J是风引起的物理量的流,称为平流通量。 2、连续方程(质量守恒定律) 令f=p,则有 +V·(p)=0 或 3、其他的平衡方程举例 3.1大尺度(天气尺度)涡度方程 +V=0 32Ere位涡方程 对于无摩擦、绝热运动,有 (2a·V)+V[(aV6]=0 其中5。为绝对涡度矢。 3被波度期构淡动能量的平均为及,称为改他密度,则有一个因期内波动的平均能方程 OR V·(RC。)=0 其中C为波群速度。 §6运动方程与动量守恒原理 1、惯性系统 惯性系中,流体的运动方程为 d v Vp+ F 含义:绝对加速度=万有引力十压力梯度力十其他外力(如摩擦力、电磁力)。 2、非惯性系统 惯性系与非惯性系的导数关系 d a da
17 ( ) f f V J t ∂ = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ ∂ JG JG 或 df f V dt = − ∇⋅ JG J JG 是风引起的物理量的流，称为平流通量。 2、连续方程（质量守恒定律） 令f＝ρ，则有 ( )0 V t ρ ρ ∂ + ∇⋅ = ∂ JG 或 0 d V dt ρ + ρ∇⋅ = JG 3、其他的平衡方程举例 3.1 大尺度（天气尺度）涡度方程 0 a a d V dt ζ +ζ ∇⋅ = JG 3.2 Etrel 位涡方程 对于无摩擦、绝热运动，有 ( ) [( ) ] 0 a a V t ζθ ζθ ∂ ⋅∇ +∇⋅ ⋅∇ = ∂ JJG JJG JG 其中 a ζ JJG 为绝对涡度矢。 3.3 波能密度方程 记一个周期内波动能量的平均值为R ，称为波能密度，则有一个周期内波动的平均能量方程 ( )0 Cg t ∂ + ∇⋅ = ∂ \ JJG \ 其中Cg JJG 为波群速度。 §6 运动方程与动量守恒原理 1、惯性系统 惯性系中，流体的运动方程为 a a 1 a d V g pF dt ρ = − ∇+ JJG JJG JG 含义：绝对加速度＝万有引力＋压力梯度力＋其他外力（如摩擦力、电磁力）。 2、非惯性系统 惯性系与非惯性系的导数关系 a d A d A A dt dt = +Ω× JG JG JG JG
则非惯性系中,流体的运动方程为 Vp-2g×V+g+F 其中 +(_×r)×9=-Vφ:(有效)重力=地球引力+惯性离心力 -2Ω×V: Coriolis力,地转偏向力,折向力 F=-V·P:粘滞力,P:应力张量 3.∫平面近似和B平面近似 f∫平面近似:∫=f6=2 Q2sin g。= const.,运动的经向尺度不大时 B平面近似:f=J+BB=9_292c059=Cn,线性函数,部分考虑地球球面性,但标 准坐标系仍可用。 §7角动量守恒原理 1、惯性系的角动量(矢):a=r×Va 2、非惯性系标准坐标中的角动量(矢):a=rx(T+9xr)=-m+(rm+0r2coso) 地轴的角动量:M=a·=(4+9 rcos p) rcoS p,西风绝对角动量 4、角动量方程 =r×上= 其中N为外力矩(外源)。若N=0, 0,角动量守恒。 角动量守恒原理的意义:角动量的变化由作用于质点的外源引起 5、角动量平衡方程 a(pa) 意义:角动量的变化由平流(角动量通量的散度)作用和外源作用造成 大气角动量变化方程(平均环流方程)
18 则非惯性系中，流体的运动方程为 1 2 dV p VgF dt ρ = − ∇ − Ω× + + JG JG JG JG JG 其中 ( ) a gg r = + Ω× ×Ω = −∇φ JG JG JG G JG ：（有效）重力＝地球引力＋惯性离心力 − Ω× 2 V JG JG ：Coriolis力，地转偏向力，折向力 1 F ρ = ∇⋅Ρ JG ：粘滞力，Ρ ：应力张量 3． f 平面近似和 β 平面近似 f 平面近似： 0 0 f = =Ω = f const 2 sin . ϕ ，运动的经向尺度不大时。 β 平面近似： 0 0 2 cos , . f f f y const y a ϕ β β ∂ Ω =+ = = = ∂ ，线性函数，部分考虑地球球面性，但标 准坐标系仍可用。 §7 角动量守恒原理 1、惯性系的角动量（矢）： a rV = × a G G JG 2、非惯性系标准坐标中的角动量（矢）： 2 a r V r rvi ru r j = × +Ω× = − + +Ω ( ) ( cos ) ϕ G G JG JG G G G 3、对地轴的角动量： Ma u r r ( cos ) cos ϕ ϕ Ω = ⋅ = +Ω Ω JG G JG ，西风绝对角动量 4、角动量方程： da rF N dt = × = G G JG JJG 其中 N JJG 为外力矩（外源）。若 N JJG ＝0，则 0 da dt = G ，角动量守恒。 角动量守恒原理的意义：角动量的变化由作用于质点的外源引起。 5、角动量平衡方程： ( ) ( ) a aV N t ρ ρ ρ ∂ +∇⋅ = ∂ G G JG JJG 意义：角动量的变化由平流（角动量通量的散度）作用和外源作用造成。 大气角动量变化方程（平均环流方程）
o rcosp+rcospF-_1 0p+rcosoF dM 1 ap 大气平均环流维持机制:纬向大气环流的维持和变化取决于纬向气压梯度力矩(制造项)和纬向摩 擦力矩(东西向的地形作用,消耗项)。 §8能量平衡方程 1、机械能方程 d(K+) -vVp+vV P dt 意义:大气动能和位能的变化=气压梯度力做功+粘滞力做功, Coriolis力不做功。 内能方程 de p, d 7-1V.形=P-1y形 亓:非平流能量通量,记-1y.亓=“,非绝热加热率,大气中该加热主要来自于辐射加热 2、热力学第一定律(热流入量方程) P dt dt dt 其中a 3、大气总能量方程 p(K+φ+e) +V[P(K+φ+e)+p-P+W]=0 ot 意义:总能量的变化由能流的散度引起, 对全球大气积分,有 p(K+φ+ 即全球大气的总能量守恒。 §9熵与熵平衡方程 l、熵:热力学状态函数,表示系统的发展与演化方向,有序程度。 熵的变化≡系统内熵的制造十系统内外交换引起的熵流,即 ds=dstd s
19 1 1 cos cos cos x dM p p r rF rF dt x ϕ ϕ ϕ λ ρ ρλ ∂ ∂ =− + =− + ∂ ∂ 大气平均环流维持机制：纬向大气环流的维持和变化取决于纬向气压梯度力矩（制造项）和纬向摩 擦力矩（东西向的地形作用，消耗项）。 §8 能量平衡方程 1、机械能方程 d K( ) V pV dt φ ρ + = − ⋅∇ + ⋅∇⋅Ρ JG JG 意义：大气动能和位能的变化＝气压梯度力做功＋粘滞力做功，Coriolis力不做功。 内能方程 2 de p p d 1 1 VW W dt dt ρ ρρ ρρ =− ∇⋅ − ∇⋅ = − ∇⋅ JG JJG JJG W JJG ：非平流能量通量，记 1 W ρ − ∇⋅ JJG ＝ dQ dt ，非绝热加热率，大气中该加热主要来自于辐射加热。 2、热力学第一定律（热流入量方程） dQ de d p dt dt dt α = + 其中 1 α ρ = 。 3、大气总能量方程 [ ( )] [( ) ] 0 K e K e V pV V W t ρ φ ρ φ ∂ ++ +∇⋅ + + + −Ρ⋅ + = ∂ JG JG JG 意义：总能量的变化由能流的散度引起。 对全球大气积分，有 ( )0 K ed t τ ρφτ ∂ + + = ∂ ∫ 即全球大气的总能量守恒。 §9 熵与熵平衡方程 1、熵：热力学状态函数，表示系统的发展与演化方向，有序程度。 熵的变化＝系统内熵的制造＋系统内外交换引起的熵流，即 i e ds d s d s = +
自由大气中的熵:s=C,ln,属于保守属性量(守恒量)。 2、可逆过程中的熵:d,s=0 3、不可逆过程的熵:d>0 孤立系统:d=ds>0,即为热力学第二定律。意义:孤立系统中熵总是增加的;系统要发展,需 要负熵流(外界输入,开放系统)。 4、有能量交换的闭合系统的熵:d=2Q=ds 意义:熵的变化=系统的吸热/系统的均匀温度 对可逆过程:d=dS=T 对不可逆过程:ds> 一般有.A。d 称为 Carnot- Clausius不等式,热力学第二定律的另一表达式。 5、熵平衡方程 V…J+Os 其中s为比熵,J,为熵流,O,为熵的制造率
20 自由大气中的熵： 0 ln p s C T θ = ，属于保守属性量（守恒量）。 2、可逆过程中的熵： 0 i d s = 3、不可逆过程的熵： 0 i d s > 孤立系统： 0 i ds d s = > ，即为热力学第二定律。意义：孤立系统中熵总是增加的；系统要发展，需 要负熵流（外界输入，开放系统）。 4、有能量交换的闭合系统的熵： e dQ ds d s T = = 意义：熵的变化＝系统的吸热 / 系统的均匀温度 对可逆过程： e dQ ds d s T = = 对不可逆过程： dQ ds T > 一般有： dQ ds T ≥ 称为Carnot－Clausius不等式，热力学第二定律的另一表达式。 5、熵平衡方程： ( ) s s s J t ρ σ ∂ = −∇ ⋅ + ∂ JJG 其中s为比熵， s J JJG 为熵流，σ s 为熵的制造率