迭代法 迭代法的思想是一种逐步逼近的方法,首先给出一个粗糙的初 值,利用同一个迭代公式,反复计算。 迭代法的构造及其敛散性条件 已知方程(x)=0在区间[ab]内有一个根,在此区间上将方程 改写为等价的形式x=p(x),取 xn∈a,b]用递推公式xk1=0(x),k=0,1,2 可得到序列x0,x,x2,如果当k→∞时,序列{x} 有极限x,且0(x)在x附近连续,则在两边取极限, 有x=(x),因而x是x=p(x)根,也就是f(x)=0 的根
迭代法 迭代法的思想是一种逐步逼近的方法，首先给出一个粗糙的初 值，利用同一个迭代公式，反复计算。 迭代法的构造及其敛散性条件 已知方程f(x)=0在区间[a,b]内有一个根，在此区间上将方程 改写为等价的形式 x = (x) ，取 . ( ), ( ) , ( ) 0 , ( ) , , , , ,.. , { } [ , ], ( ), 0,1,2,... * * * * * 0 1 2 0 1 的根 有 因而 是 的根 也就是 有极限 且 在 附近连续 则在两边取极限 可得到序列 如果当 时 序列 用递推公式 = = = → + = = x x x x x f x x x x x x x k x x a b x x k k k k
称xk+1=0(x)为迭代公式, 0(x)称为迭代函数, 当序列{xk}收敛时,称迭代格式收敛 此方法称为迭代法, 若x0≠x时,序列{xk}在a,b内不收敛, 则称迭代发散
. , { } [ , ] , , { } , . ( ) , ( ) , * 0 1 则称迭代发散 若 时 序列 在 内不收敛 此方法称为迭代法 当序列 收敛时 称迭代格式收敛 称为迭代函数 称 为迭代公式 x x x a b x x x x k k k k + =
例:解方程(x)=x2-2x+3=0,显然它在区间[24内有唯一根x*。 给出三种迭代公式
例：解方程f(x)=x2 -2x+3=0,显然它在区间[2,4]内有唯一根x*。 给出三种迭代公式：
1x=√2x+3,则迭代函数为(x)=√2x+4 取xo=4,有迭代公式 k+1=√2xk+3,=0,12,3 求得 x=V2x+3=Ⅵi 11=3.317 2x1+3=√9.643=3.104 x3=√2x2+3=√9208=3.034 2x2+3=√9.068=3.011 x=√2x1+3=√9.022=3.004 可以看出,当k越来越大时,x越来接近于精确数 x=3
3 , , 2 3 9.022 3.004 2 3 9.068 3.011 2 3 9.208 3.034 2 3 9.643 3.104 2 3 11 3.317 : 2 3, 0,1,2,3.... 4, 1. 2 3, ( ) 2 4, * 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 0 = = + = = = + = = = + = = = + = = = + = = = + = = = + = + + x k x x x x x x x x x x x x x k x x x x x k k k 可以看出 当 越来越大时 越来接近于精确数 求得 取 有迭代公式 则迭代函数为
2x=2(x2-3)则选代函数为(x)=2(x2-3) 取x。=4,有迭代公式 k+1 (x2-3),k=0,12 求得 1(x2-3)=65 (x1-3)=19.625 212-3)=191.070 可以看出,当越来越大时 x趋向于无穷大远离方程的精确解
趋向于无穷大 远离方程的精确解 可以看出 当 越来越大时 求得 取 有迭代公式 则迭代函数为 , , , ( 3) 191.070 2 1 ( 3) 19.625 2 1 ( 3) 6.5 2 1 : ( 3), 0,1,2,3.... 2 1 4, ( 3), 2 1 ( 3), ( ) 2 1 2. 2 3 2 2 2 1 2 1 0 2 1 0 2 2 k k x k x x x x x x x x k x x x x x = − = = − = = − = = − = = = − = − +