第二节二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两 个定积分的计算(即二次积分)来实现的 、利用直角坐标计算二重积分 ∫(x,y)dl 我们用几何观点来讨论二重积分D 的计算问题 讨论中,我们假定f(x,y)20 假定积分区域D可用不等式a≤x≤bg(x)≤y≤q(x)表示, 其中q(x),q(x)在[a,b]上连续 y 2 y=2(x) =1(x) y=9(x) ∫(x,y)da 据二重积分的几何意义可知 的值等于以D为底,以曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两 个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域 可用不等式 表示, 其中 , 在 上连续. 据二重积分的几何意义可知, 的值等于以 为底, 以 曲面 为顶的曲顶柱体的体积
z=f(x,y) 92(x y=( 在区间[ab上任意取定一个点x,作平行于0z面的平面x=x,这平面截 曲顶柱体所得截面是一个以区间[q(x),q(x为底,曲线z=f(x,y)为曲边 的曲边梯形,其面积为 A(x。) ∫∫(xo,y)dy 般地,过区间[a,]上任一点x且平行于yz面的平面截曲顶柱体所得截面的 面积为 A(x)=J∫(x,y)z 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 V=JA(xx= f(x,y)dy 从而有 b (xy)a引丁(x, 上述积分叫做先对Y,后对x的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作y的 函数,对f(x,y)计算从a(x)到2(x)的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分 这个先对y,后对x的二次积分也常记作
在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截 曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的 面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的 函数,对 计算从 到 的定积分,然后把所得的结果( 它是 的函数 )再对 从 到 计算定积分. 这个先对 , 后对 的二次积分也常记作
2(x) ∫f(x,y)du=」a∫∫(x,y) 1 在上述讨论中,假定了∫(x,y)≥0,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分 的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的∫〔x,y)(在D上连 续),公式(1)总是成立的 r=』(a-x2)daD={(x,y)-1≤x≤1,0≤y≤2} 例如:计算 D ea-xydy=la-x 解 「20-x2)x=2x-2x2/8 2 类似地,如果积分区域D可以用下述不等式 c≤ysd,p(y)sxsp(y) 表示,且函数φ(y),φ2(y)在[c,d]连续,f(x,y)在D上连续,则 (y) d2(y) ∫(x,y)do=∫jf(x,y)a=∫df(x,y)lh c La() A() (2) D xMl(y) x xf p2(y) 显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分 二重积分化二次积分时应注意的问题 积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点 对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(X轴)的直线穿过区域内部,直线与区域 的边界相交不多于两点
在上述讨论中,假定了 ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分 的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在 上连 续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域 可以用下述不等式 表示,且函数 , 在 上连续, 在 上连续,则 (2) 显然,(2)式是先对 ,后对 的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于 轴( 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域 的边界相交不多于两点
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的 并集 2、积分限的确定 重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 几何法.画出积分区域D的图形(假设的图形如下) (x,2(x) x92(x) x bx 在[a,b上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D 的边界有两个交点(,(x)与(,2(x),这里的(x)、吗2(x)就是将x,看作常 数而对y积分时的下限和上限:又因x是在区间[a,b]上任意取的,所以再将x看 作变量而对翼积分时,积分的下限为a、上限为 b d 例1计算D 其中D是由x轴,y轴和抛物线y=1-x在第一象限内所 围成的区域 解:D:0≤x≤1,0≤y≤1-x2 ∫3x2y2d=Jaj3x2y2d y dx=x2(-x2)dx 令x=snt∫s·c、。(2-1)!(7-1)!116 9!! 315 类似地,D:0≤y≤1,0≤X≤√l-y y ∫3x2y2d=」d」3x2y2ar
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的 并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域 的图形(假设的图形如下 ) 在 上任取一点 ,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与区域 的边界有两个交点 与 ,这里的 、 就是将 ,看作常 数而对 积分时的下限和上限；又因 是在区间 上任意取的,所以再将 看 作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为 . 例1计算 ,其中 是由 轴, 轴和抛物线 在第一象限内所 围成的区域. 类似地
1-y =-y)2y 令y=sin2t∫2cos3t,sin3td=2 (4-1)!(5-1)!16 9!! 315 例2计算D 其中D是由抛物线y2=X及直线y=x-2所围成的区域 解:D:0≤x≤1,-√xsy≤ D:1sx≤4,x-2sy≤ JJxydo=xydo +[xydo D2/x-2 =dx xydy dx ydy √x =0+y2a=x-(x-2)8 D:-1≤y≤2,y≤x≤y+2 2 xydo=ayxyo D 2 2-y的 例3求由曲面z=x2+2y及z=6-2x2-y所围成的立体的体积 解:1、作出该立体的简图,并确定它在X∽面上的投影区域
例2计算 , 其中 是由抛物线 及直线 所围成的区域. 例3求由曲面 及 所围成的立体的体积. 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域