第三节三重积分 、三重积分的概念 设∫(x,y,z)是空间闭区域g2上的有界函数,将g2任意地分划成n1 其中△v表示第个小区域,也表示它的体积 在每个小区域△v2上任取一点(5,7,5), 作乘积f∫(5;,仍,5)v 作和式∑∫(5,,5)Av 以元记这程个小区域直径的最大者, lim∑f(51,T1,)Av 若极限→0:=1 存在 则称此极限值为函数∫(x,y,2)在区域Ω上的三重积分,记作 盯∫(x,y,z 盯f(x,y,2)h=im∑f(51,,5v 即 其中cv叫体积元素 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成ddz 重积分的计算 1、利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域S的形状如下图所示 2在x面上的投影区域为1xy,过1y上任意一点,作平行于z轴的直线穿过 曲面相交不多于两点.亦即,的边界曲面可分为上、下两片部分曲面 Z=Z1r y),S2:z=z2(x,y) 其中z(x,y),z2(x,y)在Dy上连续,并且z1(x,y)≤z2(x,y)
第三节 三重积分 一、三重积分的概念 设 是 空 间 闭 区 域 上 的 有 界 函 数 , 将 任 意 地 分 划 成 个 其中 表示第 个小区域,也表示它的体积. 在每个小区域 上任取一点 , 作乘积 作和式 以 记这 个小区域直径的最大者, 若极限 存在, 则称此极限值为函数 在区域 上的三重积分,记作 , 即 其中 叫体积元素. 自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成 . 二、三重积分的计算 1、利用直角坐标计算三重积分 假设积分区域 的形状如下图所示 在 面上的投影区域为 , 过 上任意一点, 作平行于 轴的直线穿过 曲面相交不多于两点. 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面. , 其中 , 在 上连续, 并且
S,:z S1: z=21(,y) x. y y=y,(x) y=y2() ∫∫(x,y,z)h 如何计算三重积分g 呢? 不妨先考虑特殊情况f(x,y,2)=1,则 =ad=』z2(x,y)-z1(x,y)1 ddv dz 即 z1 般情况下,类似地有 盯=』ab∫f(x,y,z)dz Z1(x,y ∫(x,y,z)dz 显然积分21(x,y) 只是把∫(x,y,2)看作z的函数在区间[z1(x,y),z2 定积分,因此,其结果应是x,y的函数,记 22(xy) F(x,y)=∫∫(x,y,z)在z 盯∫(x,y,z)=』F(x,y)小 那么 如上图所示,区域Dy可表示为 η(x)sy≤y2(x) b y2(x) ∫F(x,y)d=」aJF(x,y)z 从而2 n1(x)
如何计算三重积分 呢? 不妨先考虑特殊情况 ,则 即 一般情况下,类似地有 显然积分 只是把 看作 的函数在区间 定积分, 因此,其结果应是 的函数, 记 那么 如上图所示, 区域 可表示为 从而
a≤xsb,y(x)sysy2(x),z(x,y)sz≤z2(x,y) (x)z2(x,y) 盯∫(x,y,z)=」a∫∫∫(x,y,z)d 则 yI(x) z1(x,y) 这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积分变量z,次对y,最后对 如果平行于z轴且穿过g内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重 的方法,将2剖分成若干个部分,(如S21,S2),使在g2上的三重积分化为各部分区 的三重积分,当然各部分区域(S21,S2)应适合对区域的要求 盯∫(x,y,z) 例如,求 ,其中豆为1≤x-+y-+z≤4 z 将面将区域剖分成上下两个部分区域 C21={(x,y,z)|z≥0,1≤x-+y+z≤4} 2={(x,y,2)|≤0,1≤x2+y2+z≤4} 盯=∫+』「 则 盯 xyzdxdyd 例1计算c 其中g为球面X+y+z2=1及三坐标面所围成的仨 体 解:(1)、画出立体的简图 x +y+z =1 ty
则 这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量 , 次对 ,最后对 如果平行于 轴且穿过 内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积 的方法, 将 剖分成若干个部分,(如 ),使在 上的三重积分化为各部分区 的三重积分,当然各部分区域 ( ) 应适合对区域的要求. 例如,求 ,其中 为 . 将面将区域剖分成上下两个部分区域 则 例1计算 , 其中 为球面 及三坐标面所围成的位 体. 解:(1)、画出立体的简图 ( ) 找出立体 在某坐标面上的投影区域并画出简图
2在xo面上的投影区域为Dy:x2+y2s1,x≥0,y≥0 (3)、确定另一积分变量的变化范围 在已知积分变量x,y的变化范围为1y的情况下,再确定另一积分变量z的变化范目 点,作一过此点且平行于z轴的直线穿过区域g,则此直线与g边界曲面的两交 的变化范围 0z5④1-x2-y2 (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分 xyz xdydz xy(-x-y)dy 1 y--xy)dy 1 xQ-x2)-2x:Q-x2) -x2)2d 0g sin 1.tcos t- sin t cost cos tat SInL cos at sin t t sin t cos tdt 4 1212.214·2 44·246·4·286·4·2 48 2、利用柱面坐标计算三重积分 (1)、柱面坐标 设M(x,y,2)为空间的一点该点在x面上的投影为P,P点的极坐标为r, 数称作点M的柱面坐标
在 面上的投影区域为 (3)、确定另一积分变量的变化范围 在已知积分变量 的变化范围为 的情况下, 再确定另一积分变量 的变化范围 一点, 作一过此点且平行于 轴的直线穿过区域 , 则此直线与 边界曲面的两交点 的变化范围. (4)、选择一种次序,化三重积分为三次积分 2、利用柱面坐标计算三重积分 （1）、柱面坐标 设 为空间的一点,该点在 面上的投影为 , 点的极坐标为 数称作点 的柱面坐标
, P(,y, O 规定P,,z的取值范围是 0≤r<+a,0≤θ≤2x,-∞<z<+ 柱面坐标系的三组坐标面分别为 r=常数,即以z轴为轴的圆柱面 9=常数,即过z轴的半平面 z=常数,即与x面平行的平面 点M的直角坐标与柱面坐标之间有关系亍 盯∫f(x,y,2) 重积分c 在柱面坐标系中的 dz d 用三组坐标面r=常数,日=常数,z=常数,将Ω分割成许多小区域,除了含 规则小区域外,这种小闭区域都是柱体 老察由P,O,z各取得微小增量d,dO,d所成的柱休该柱体是底面积为H
规定 的取值范围是 ， ， 柱面坐标系的三组坐标面分别为 ,即以 轴为轴的圆柱面； ,即过 轴的半平面； ,即与 面平行的平面. 点 的 直 角 坐 标 与 柱 面 坐 标 之 间 有 关 系 式 （ 2 ） 、 三 重 积 分 在 柱 面 坐 标 系 中 的 用三组坐标面 , , ,将 分割成许多小区域,除了含 的 规则小区域外,这种小闭区域都是柱体. 考察由 各取得微小增量 所成的柱体,该柱体是底面积为