解：(1)商品的边际效用为MU=U=0.5g5,货币的边际效用为1=U T=3 由实现消费者均衡条件M亿=可得：05g -=3,整理得消费者的需求函数为 g=36p· (②根据需求函数g产67·可得反焉求函数p-。9“ 1 1 回消类者到除5-哈西-网号月 5.设某消费者的效用函数为柯布一道格拉斯类型的，即U=x“yP,商品x和商品 y的价格分别为Px和Py,消费者的收入为M,a和B为常数，且a+B=1。 (1)求该消费者关于商品x和商品y的需求函数。 (2)证明当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费 者对两商品的需求量维持不变。 (3)证明消费者效用函数中的参数α和B分别为商品x和商品y的消费支出占消 费者收入的份额。 aU 解：(1)由消费者的效用函数U=x“y,解得： A, =卧“y 消费者的预算约束方程为Pxx+Py=M (M.Px 根据消费者效用最大化的均衡条件MyP,，代入已知条件，解方程组得消费 Px+Py=M 者关于商品x和商品y的需求函数分别为： (2)商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的 预算线变为Px+Py=M,其中元为一非零常数
解：（1）商品的边际效用为 0.5 0.5 U MU q q − = = ，货币的边际效用为 3 U M = = 由实现消费者均衡条件 MU p = 可得： 0.5 0.5 3 q p − = ，整理得消费者的需求函数为 2 1 36 q p = 。 （2）根据需求函数 2 1 36 q p = ，可得反需求函数 1 0.5 q 6 p − = （3）消费者剩余 1 4 4 0.5 2 0 0 1 1 q pq 6 3 CS dq q − = − = 1 3 − 2 1 1 3 3 3 = − = 5. 设某消费者的效用函数为柯布—道格拉斯类型的，即 U = x y ，商品 x 和商品 y 的价格分别为 Px 和 Py，消费者的收入为 M， 和 为常数，且 + = 1。 （1）求该消费者关于商品 x 和商品 y 的需求函数。 （2）证明当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费 者对两商品的需求量维持不变。 （3）证明消费者效用函数中的参数 和 分别为商品 x 和商品 y 的消费支出占消 费者收入的份额。 解：（1）由消费者的效用函数 U = x y ，解得： 1 1 − − = = = = x y y U MUy x y x U MUx 消费者的预算约束方程为 PX x + Py y = M 根据消费者效用最大化的均衡条件 + = = P x P y M P P MUy MU x y y x X ，代入已知条件，解方程组得消费 者关于商品 x 和商品 y 的需求函数分别为： a x= X M P , y y= M P （2）商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的 预算线变为 Px x + Py y = M ，其中 为一非零常数
MU,P 此时消费者效用最大化的均衡条件为 MUy P. ，由于1≠0，故该方程组化 AP x+aP,y=AM (M,Px 为{MUyP,显然，当商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个 Px+Py=M 比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。 (3)由消费者的需求函数可得：a-二，B=2 ,式中参数α为商品x的消费支 出占消费者收入的份额和参数阝为商品y的消费支出占消费者收入的份额。 6.假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为此率做一个热狗，并且 已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。 )求肉肠的需求的价格弹性 (2)求面 对肉肠价格的需求的交叉弹性 求的面包的价格的事么肉肠的需求的价格弹性和面包卷对肉肠价格的 解：(1)令肉肠的需求为X,面包卷的需求为Y,相应的价格为P.、P,且有P=P 该题目的效用论最大化问题可以写为： maxU(X,Y)-min(X.Y) s.t.P X+PyY=M 察上迷方深有“的当 M 由此可得肉肠的需求的价格弹性为：e= Px)=1 p·X=-7B2M 2 回面包对肉品的得来交义弹性为：6部号-一（一兰“1 2 (3)maxU(X,Y)=min(X.Y) s.tP X+PyY=M M2M-2MB 如果P=2R,X,解上述方程有：XYB+B3R了 Px一)=1 丁得肉肠的需求价格弹性为：e=-(-,·Px·2MP 3 3 2M 面包对肉肠的需求交叉弹性为：©那·子=-（二 P —)=1 3
此时消费者效用最大化的均衡条件为 + = = P x P y M P P MUy MU x y y x X ，由于 0 ，故该方程组化 为 + = = P x P y M P P MUy MU x y y x X ，显然，当商品 x 和商品 y 的价格以及消费者的收入同时变动一个 比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。 （3）由消费者的需求函数可得： P xx P yy M M = = ， ，式中参数 为商品 x 的消费支 出占消费者收入的份额和参数 为商品 y 的消费支出占消费者收入的份额。 6.假定肉肠和面包卷是完全互补品。人们通常以一根肉肠和一个面包卷为比率做一 个热狗,并且 已知一根肉肠的价格等于一个面包卷的价格。 (1)求肉肠的需求的价格弹性。 (2)求面包卷对肉肠价格的需求的交叉弹性。 (3)如果肉肠的价格是面包卷的价格的两倍,那么,肉肠的需求的价格弹性和面包卷 对肉肠价格的 需求的交叉弹性各是多少? 解：（1）令肉肠的需求为 X，面包卷的需求为 Y，相应的价格为 Px、PY ，且有 Px=PY 该题目的效用论最大化问题可以写为： maxU(X，Y)=min(X，Y) s.t.PxX+PYY=M 解上述方程有：X=Y= 1 = = 2 2 X X Y X M M M P P P P − + 由此可得肉肠的需求的价格弹性为： edx=- 2 1 d 1 d 2 2 X X X X X X M P P P P X M P − − = − − = （ ） (2)面包对肉肠的需求交叉弹性为：exy= d d Y PX X Y = 2 1 1 2 2 X X X M P P M P − − − − = （ ） (3) maxU(X，Y)=min(X，Y) s.t.PxX+PYY=M 如果 Px=2PY,X=Y, 解上述方程有：X=Y= 2 2 1 = = 3 3 X X Y X M M M P P P P − + 可得肉肠的需求价格弹性为：edx= 2 1 2 1 3 2 3 X X X M P P M P − − − − = （ ） 面包对肉肠的需求交叉弹性为：eyx= X X Y P P Y = 2 1 2 1 3 2 3 X X X M P P M P − − − − = （ ）