取新的复变量z,令 ST 或S n z (6.1-4) 则式(6.1-3)就变成复变量z的表达式,即 Fs(s) ∑f(k)zk=F(z)(615) S lr n二 k
取新的复变量 z，令 ，或 （6.1-4） 则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即 （6.1-5） z e sT = s T = z 1 ln F s f k z F z S s T z k k ( ) ( ) ( ) = ln =− − 1 = =
这就是离散信号或的Z变换表达式,可见,离散信号八k)的Z 变换是取样信号(1)的拉氏变换F(s)将变量代换为变量 ST 的结果。式(6.1-4)、(6.1-5)反映了连续时间系统与离散 时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号(k)为 因果序列,即k<0时,fk)=0,或者只考虑八k)的k≥0的 部分,则有 F(z)=∑f(k 人、 (6.1-6) 式中,k的取值是从0到,称为单边Z变换,称式(61-1)为双 边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换,F(s)称为k)的 象函数;八(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因 果序列,在此,我们强调以后主要讨论单边Z变换。 612Z变换的收敛域 无论是按式(6.1-1)定义的双边Z变换,还是按式(6.1-6)
这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z 变换是取样信号fS (t)的拉氏变换FS (s)将变量s代换为变量 的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散 时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为 因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 的 部分，则有 （6.1-6） 式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双 边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的 象函数； f(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因 果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6） z e sT = k 0 F z f k z k k ( ) = ( ) = − 0
定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然,仅当该级数收 敛时,Z变换才有意义。例如因果序列 f(k)={ak≥0 0k<0 a为正实数 的哉计7亦坯头 F(z)=∑(k)=Ea42-=∑(a2-) k=0 k=0 k=0 (6.1-7) 显然,只有az1<1即z>a时,该无穷级数绝对收敛。 即级数收敛的充要条件为 ∑|f(k)z-|<∞ (6.1-8) k=0 根据等比级数的求和公式,式(61-7)才能以闭合式表示为 F(z) 1-az
定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收 敛时，Z变换才有意义。例如因果序列 a为正实数 的双边或单边Z变换为 （6.1-7） 显然，只有当 时，该无穷级数绝对收敛。 即级数收敛的充要条件为 （6.1-8） 根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为 = 0 0 0 ( ) k a k f k k k k k k -k k k F( ) f (k) a (a ) 1 0 0 0 − = − = = Z = Z = Z = Z az z a - 1 1即 = − 0 ( ) k k f k z z a z az F z − = − = −1 1 1 ( )
上述例子中的取值z|>a称为F的收敛条件。在Z平面 (复平面)中,F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域 ROC( Region of Convergence。收敛条件z|>a,在Z平面 中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域,半径a 称为收敛半径,如图6.1-2(a)中的阴影部分。可见,对于 单边Z变换,收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的 圆外区域,圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条 件比较简单,因而即使不注明收敛域也不会发生误会,故 般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换,情况要复 杂一些。例如 aXk≥0a,b为正实数 f(k)= b k<0 双边Z变换为 F(z)=∑az+∑bxzx=∑(ax)4+∑(bz) k=0 k=-00
上述例子中z的取值z >a称为F(z)的收敛条件。在Z平面 （复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域 ROC（Region of Convergence）。收敛条件z >a ，在Z平面 中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a 称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。可见，对于 单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的 圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条 件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一 般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况要复 杂一些。例如 双边Z变换为 = 0 0 , ( ) b k a k a b f k k k 为正实数 k k k k k k F a b − − =− − = z = z + z 1 0 ( ) k k k k (a ) (b ) 1 1 1 0 z z = − − = = +
上式后一级数收敛条件已经讨论过,为z|>a,前一个级数 的收敛条件为b=<1,即z|<b。故整个Z变换的收敛 域应为a<x<b。当a<b,则收敛域为Z平面内圆心在原点外半径 为b,内半径为a的一个圆环区域。若a>b,则无收敛域,Z变 换也就不存在 值得注意的是,即便是同一个双边Z变换的表达式,其收敛 域不同,则可能对应于两个不同的序列 可见,双边Z变换式必须注明其收敛域,否则有可能无法确 定其对应的时间序列 由复变函数理论可知,Z变换的定义式是一罗朗级数,在收 敛域内是解析函数
上式后一级数收敛条件已经讨论过，为z >a ，前一个级数 的收敛条件为 ，即z <b 。故整个Z变换的收敛 域应为a<z<b。当a<b，则收敛域为Z平面内圆心在原点外半径 为b，内半径为a的一个圆环区域。若a>b ，则无收敛域，Z变 换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛 域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确 定其对应的时间序列。 由复变函数理论可知，Z变换的定义式是一罗朗级数，在收 敛域内是解析函数。 b z 1 - 1