数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 通过待定函数变换过程确定函数变换因子，令v=ru,则变为半无界弦振动定解问题 H=a2um,(t>0,r>0) 0l,=0-0 =0.=o=r 进一步，使用延拓法 Wu=,(t>0,-00<x<+o0) wr=0=0,l=0=a+ 利用达朗贝尔公式 ut,到=去a成=-阿 =aa+-t一a0++可=+-a++a啊 取x>0部分（对应原问题的r>0),得到半无界弦振动定解问题的解为 rt 6,r）=1+r-at+r+ad网 相应地，此三维波动方程定解问题的解为 u6,r)+r-ai91+r+a明 法二：使用拉普拉斯变换法求解.对于一般的发展方程问题，时间变量t>0为半无界 区域，且初始条件往往满足拉普拉斯变换法使用条件 L[ud=p2U-pU(0,r）-(0,r）=p2U-(1+r2)- 那么方程变为 0-+2=器+2 r dr 求解常微分方程，再作Laplace逆变换，最后得到 u=+r-at明1+r+a网 比较：可以发现，行波法和积分变换法都可以应用于求解这一问题。行波法求解这一问 题主要步骤为：选取合适的坐标系表达定解问题，待定函数变换寻找合适的函数变换因 子，变换后的问题利用延拓法转化为可以直接使用行波法求解的问题，利用达朗贝尔公 式直接得到解。拉普拉斯变换法求解这一问题的主要步骤为：选取合适的坐标系表达定 16
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 通过待定函数变换过程确定函数变换因子，令 v = ru, 则变为半无界弦振动定解问题 vtt = a 2 vrr, (t > 0, r > 0) v| r=0 = 0 v| t=0 = 0, vt | t=0 = r (1+r 2) 2 进一步，使用延拓法 ( wtt = a 2wxx, (t > 0, −∞ < x < +∞) w| t=0 = 0, wt | t=0 = x (1+x2) 2 利用达朗贝尔公式 w(t, x) = 1 2a R x+at x−at ξ (1+ξ 2) 2 dξ = − 1 4a 1 (1+ξ 2) x+at x−at = 1 4a 1 (1+(x−at) 2) − 1 4a 1 (1+(x+at) 2) = xt [1+(x−at) 2][1+(x+at) 2] 取 x > 0 部分（对应原问题的 r > 0），得到半无界弦振动定解问题的解为 v(t, r) = rt [1 + (r − at) 2 )] [1 + (r + at) 2 ] 相应地，此三维波动方程定解问题的解为 u(t, r) = t [1 + (r − at) 2 ] [1 + (r + at) 2 ] 法二：使用拉普拉斯变换法求解. 对于一般的发展方程问题，时间变量 t > 0 为半无界 区域，且初始条件往往满足拉普拉斯变换法使用条件. L [utt] = p 2U − pU(0, r) − ut(0, r) = p 2U − 1 + r 2 −2 那么方程变为 p 2U − 1 + r 2 −2 = a 2 d 2U dr2 + 2a 2 r dU dr 求解常微分方程, 再作 Laplace 逆变换，最后得到 u = t [1 + (r − at) 2 ] [1 + (r + at) 2 ] 比较：可以发现，行波法和积分变换法都可以应用于求解这一问题。行波法求解这一问 题主要步骤为：选取合适的坐标系表达定解问题，待定函数变换寻找合适的函数变换因 子，变换后的问题利用延拓法转化为可以直接使用行波法求解的问题，利用达朗贝尔公 式直接得到解。拉普拉斯变换法求解这一问题的主要步骤为：选取合适的坐标系表达定 16
数理方程复习参考手册 2020春数理方程08班 解问题，选取合适的积分变量作正变换，求解像函数满足的常微分方程，对像函数作反 变换得到解。一般来讲，如果需要作函数变换才可以使用行波法发问题，需要考虑题目 是否提供关于函数变换因子的提示，如果没有需要考虑是否掌握待定函数变换法。而对 于拉普拉斯变换法，则要考虑像函数的求解以及反变换的过程。一般的原则是能够使用 行波法求解的问题尽量使用行波法。 2.3阻尼振动问题中的行波法使用 阻尼问题是弦振动问题中的一种特殊情形，其中阻尼项的加入会导致无法直接 使用行波法处理。对于阻尼问题，有一种有效的转化方法是基于物理意义，引入阻尼因 子进行函数变换。以这道题为例说明这一类问题的处理思路。 试求解一维无界区域上阻尼振动问题。 Vu -a2vrz +2ev+e2v=0(-oo<x<oo,t>0) (x,0)=(x),(,0)=(x) 解：首先我们发现，问题描述的是一维无界区域的波动方程问题，从这一点上看是满足 行波法的。然后我们继续观察，这个定解问题不同于一般的一维无界区域弦振动问题， 其中不同在于这里多了一个阻尼项，这就导致无法直接使用行波法。这时候，有两种思 路：转化为可以使用行波法的类型：使用积分变换法等其他方法。 我们遵循一个原则，在题目没有指定方法的前提下，如果能使用行波法，就不考虑使用 积分变换法等方法处理。理由呢就是，如果满足行被法使用条件，那用行波法来求解是 最简洁的。因此如果存在转化方法，且转化方法不是很复杂的话，我们希望能够通过转 化并利用行波法求解。 考虑到这种特殊问题可以通过转化方法求解，那么我们这里说明如何将问题转化为可以 使用行波法求解的问题。 令 v(x,t)=e-u(x,t)(3>0) 其中e~为衰减因子，且使得（，）满足一维无界区域波动方程基本型。 由上述表达式可得 4=e-(器-3 u=et(ut-28u:+82u） Urr =e-Bi urr 公
2020 春数理方程 08 班 数理方程复习参考手册 2020 春数理方程 08 班 解问题，选取合适的积分变量作正变换，求解像函数满足的常微分方程，对像函数作反 变换得到解。一般来讲，如果需要作函数变换才可以使用行波法发问题，需要考虑题目 是否提供关于函数变换因子的提示，如果没有需要考虑是否掌握待定函数变换法。而对 于拉普拉斯变换法，则要考虑像函数的求解以及反变换的过程。一般的原则是能够使用 行波法求解的问题尽量使用行波法。 2.3 阻尼振动问题中的行波法使用 阻尼问题是弦振动问题中的一种特殊情形，其中阻尼项的加入会导致无法直接 使用行波法处理。对于阻尼问题，有一种有效的转化方法是基于物理意义，引入阻尼因 子进行函数变换。以这道题为例说明这一类问题的处理思路。 试求解一维无界区域上阻尼振动问题。 ( vtt − a 2 vxx + 2εvt + ε 2 v = 0(−∞ < x < ∞, t > 0) v(x, 0) = φ(x), vt(x, 0) = ψ(x) 解：首先我们发现，问题描述的是一维无界区域的波动方程问题，从这一点上看是满足 行波法的。然后我们继续观察，这个定解问题不同于一般的一维无界区域弦振动问题， 其中不同在于这里多了一个阻尼项，这就导致无法直接使用行波法。这时候，有两种思 路：转化为可以使用行波法的类型；使用积分变换法等其他方法。 我们遵循一个原则，在题目没有指定方法的前提下，如果能使用行波法，就不考虑使用 积分变换法等方法处理。理由呢就是，如果满足行波法使用条件，那用行波法来求解是 最简洁的。因此如果存在转化方法，且转化方法不是很复杂的话，我们希望能够通过转 化并利用行波法求解。 考虑到这种特殊问题可以通过转化方法求解，那么我们这里说明如何将问题转化为可以 使用行波法求解的问题。 令 v(x, t) = e −βtu(x, t)(β > 0) 其中 e −βt 为衰减因子，且使得 u(x, t) 满足一维无界区域波动方程基本型。 由上述表达式可得 vt = e −βt ∂u ∂t − βu vtt = e −βt (utt − 2βut + β 2u) vxx = e −βtuxx 17