利用已知条件即可得到。 以上两种方法的核心是“变形”,但其出发点不一样。由 此开扩学生的解题思路。教师可以通过提问的方式来加深学生 对这两种方法的理解。 I|x|≤:1 x|≤1 (3)已知/(x)=0(x1,9(x)=12x|1. 求fg(x)],gL∫(x)] 这是两个分段函数的复合,学生在中学里见得较少,做题 时抓不住要领。其核心问题是抓住中间变量的值域 例如f[9(x)]它的函数关系是 因中自 由g(x)12-x2|x≤1 得出g(x)的取值范围.当 x|≤1时,1≤2-x2≤2,x=1,g(1)=1px=-1,9(-1)=1 当x|>1时,g(x)=2 1x|=1 由此,f[9(x)= 01x!≠1 同样,对于g[f(x)]有 因中自 当}x|≤1时,f(x)=1g(1)=1 当丨x|>1时,f(x)=09(0)=2。 1」x|≤1 所以,g∫(x)]= 2.第二批题目学生做10分钟后,可让学生上黑板做, 并叙述自己的解题思路。 第(1)题,学生大都能抓住问题的核心即函数有f(x) =f(-x)但对于∫(x)的图形关于直线x=2对称,普遼 从几何图形上分析,见图22
∫ ∫x) 图22 图23 从图形上看f(x)是周期函数,周期T=4,认为这样就 证明了。 教师应明确指出,这种证明是不行的。它只说明了在所画 图形的情况下是对的,这是一种特殊情况,不具有一般性。因 此不能代表一般性的证明。 这里的核心问题是,f(x)的图形关于直线x=2对称如 图23,用解析表达式如何表述x与4-x处的函数值相等 由已知条件和上述分析我们得到 f(-x)=∫(x) f(x)=∫(4-x) 在②中用-x代替x得到 f(-x)=f(4+x) 再由①、③得到∫(x+4)=f(x),根据周期函数的定义可知 ∫(x)是以4为周期的周期函数。 为了对周期函数有深入的了解,教师可引导学生思考下列 问题 问题1:是否周期函数一定都有最小周期? 问题2:周期函数是否可用下列说法定义? “若在(一∞,+∞)中有无穷多个x满足f(站+?)=∫(x), 则称f(x)为周期函数,周期为x
在引导学生讨论中,可让学生步了解和熟悉高等数学中 常用的一些典型例子。 例如,y=c(c为常数)是以任意实数a>0为周期 的,而正实数a无最小值 再如,狄里克莱函数 1x为有理数 f〔x) 0x为无理数 任何正有理数r都是f(x)的周期,但正有理数没有最小 的数。 再如,f(x)=xnx的图形是周期性的振荡,且振幅愈 来盒大。但它有无穷多个点满足∫(x+x)=f(x),其中x取 九,但f(x)不是周期函数 第(2)题主要让学生掌握研究函数在某个区间上增减性的 方法。问题本身并不困鸡,可着重于逻辑推理的训练 研究∫[g(x)]的增减性,即研究f9(x)]-∫[g(x) 的正负号,其中xx1是区间中任意两点。不射设x>x 由g(x)在X上单调增加,推知g(x2)-g(x)>0,即 9(x2)>g(x1)。再由∫(x)在X上单调减,当g(x2)>g(x) 时,推知∫g(x2)]-∫Cg(x1)]<0,即fg(x)]在X上 单调减 同样的方法可证明∫f(x)在X上单调增加,即 x2>x1→f(x2)<∫(x1)→ff(x2)]-ff(x)]>0 第(3)题,学生一般都会画出图形如图24,但写出的解 析式子错误较多 解析式子可根据图形来写 33·
x(2“x 0≤x<1 ∫(x)={x(2+x) 1<x≤0利用f(-x)=-f(x (x~2)x 1<x≤2 坐标平移(右移到2) (x+2)(-x)-公≤x<-1坐标平移(左移到-2) 图2 参考题 可以做为选作威给学习较好的憋思考,也可作为教师选 题时参考 1.已知f(x)=(x+1x|》-g(x)= 0 求∫g(x)],gf(x)] 2.函数∫(x)在(-∞,+c)上有定义,且满足 ①∫〔x+x)=f(x)+sx ②当0≤x≤π时∫(=0 证明:y=f(x)是周期函数并作出∫(x)在[-3,3] 上的图形 证:本题证明思路大致有两种 证法1:先根据件作出∫(x)的图形,然后从图形上看出 周期为2π,再证明∫(x+2x)=∫(x),具体步骤如下:当 34
fr r) 2丌 图2 图28 0≤x≤丌时f(x)=0,当-丌≤x≤0时,0≤x+罪≤丌,此 时∫(x+x)=0,由∫(x+)=f(x)+inx,得到∫(x)a snx,作出图形如图25同理可作出f(x)在[-2x,-] [x,2丌]上的图形,观察出周期T=2x ∫(x+2x)=f(x+z) =∫(x+z)+sin(x十π) =∫(x)+sinx-sinx≈∫(x) 证法2,由∫(x+z)=∫(x)+sx考虑周期T=2r 由8inx的周期为2r为依据),然后证明等式f(x+2x)= ∫(x)成立,最后画出图形 3.如图26所示。在边长为1的等边三角形中,作半径 相同且互切的n排小圆,试将小圆面积之和,即 S,=S4+S12+S2++Sn+Sm2+…+Ss 表示成n的函数。 35