把它们拼在一起,围出立体图形如图21 k 2 图19 图20 参考题 z 1.求由1,z2这两 2x+y=4 个平面所构成的二面角的平 分面方程。r1x-y-2z =2,2:x+2y+2=8 惊证4 提示:平分面过rt 丌的交线,所求的平分面x 应该有两个,且它们是互相 图21 垂直的.请学生自己验证这个性质。 答案:2x+y-2=10与y+z=2 2.若M,M4两点与直线L,{2y23对称,已 知M1(2-1,3),求M2的坐标 答案:M2(10/3,-7/3,5/3) 3.已知曲线+p+x=1,从原点0沿方向余弦为 cga,oo8P,oosγ的方向作射线交曲面于p证明 26·
cos Cos x s f cos a 提示:设p(x,y,2),其中{y= f cos B≠0 2= cOST fopI =v:2cos2a+#] 2B++2cos27=I= p在曲面上 cosa # p #2cos 27
第二章函数 函教是微积分研究的对象,也是学好微积分的基础知识 由于学生在中学已学过函数,故只需安排一次辅导课 第四讲函数概念、函数的基本特性 本章要求学生深刻理解函数概念与函数符号,熟练地求出 所给函数的定义域;能利用函数的基本特性(增减性、奇偶 性、周期性)解决一些具体问题。如何使学生在原有基础上有 所提高,既不感到乏味而又觉得有深人学习的必要,是我们选 题时考虑的重要因素 选题 第一批題目。属于基本题,通过这些题着重巩固概念,掌 提解题思路和基本方法。 〔1)求y=y Ig x+ 5x 的定义域。 6 2)已知f(snx)=1+cox,求∫(cos (3)已知∫(x)=1当1x≤1 0当|x> 9〔x)=∫2-x2当1x≤了 当|x|>1。 求∫g(x)与gLf(x)] 28
第二批题目。属进一步探入的题,通过这些题培养学生利 用函数的基本特性解决问题的能力。 (1)者函数f(x)在(-∞,+)上有定义,且为偶函 数,又∫(x)的图形关于直线x=2对称,问∫(x)是周期函 数吗?并证明你的结论。 〔2)在x∈区间X上,如果f(x)是单调的,g(x)单是 调增的,若复合函数JLg(x)],ff(x)在X上有定义, 研究它们的增减性,并说明理由 (3)已知9(x)=x(2-x)0≤x<1,g(1)=0,f(x)是 以2为周期的奇函数,定义域为(-∞,+∞),且在0≤x≤1 上∫(x)=9(x)。试在[-22]上作出f(x)的图形,并写 出其解析表达式 说明 1.第一批题目给学生后,数师可根据学生当时做题的情 况,选择合适的学生上鼎板写出解题过程,针对学生在解题中 出现的问题引导学生展开讨论,取长补短共同提高(时间可掌 提在40分钟以内) 1)求y= 1x2+5x的定义域。这里涉及到两个基本 6 函数,y=√x,y=1gx前者要求x≥0后者要求x≥1,由 此得到 +5X 6 ≥1即x2+5x-6≥0 即"(x+6(x-1)≥0 (x+6)≥0 x≥-6 乞 x-1)≥0 ≥1 今x≥1 29
〔x÷6)≤0 x≤-6 x-1)≤0 x≤1 所以,定义域为(-∞,-6],[1,+)。 上述不等式的解还可列表解得。 令f(x)=(x+6)(x-1) 61+ ∫(x) 所以当且仅当x满足(-∞,-6],[1,+∞)时,才有∫(x)≥ 即(-∞,-6J,[1,+∞)为所求的定义戚 可让学生用此法求y=、(+6)(x二1的定义域,与用 v(x-2)(x+3) 解不等式的方法比较有其优越性。 (2)已知∫(6inx2)=1+cr求/cs= 学生对已知∫(x)=2x+x3求f(3)=?并不国难。本题 的关健是将 1+csx进行变形。 法1 sin 1t Cosx = 2cos 所以 =2(1-cos2 2/≈zsin2=1一08x 用“变形”解题是一种基本方法。可以从个不同的角度 进行“变形” 法2 cos =1+cos(π-x)=1-cox 这里将cx转化为sin-x,然后将哥看成整体, 30