4.定态薛定谔方程 mar?+Uy=in oy 方202y at 条件:势能函数U=U(xy,)不随时间变化,则波函数 可以分离变量,即表示成y(x,y,z,)=y(x,y,z)f(t) 将上式代入一般薛定谔方程并除以上式得 方2Vy(x,y,z) +U(x,,)=汤9() /f(t)=常数 2m y(x, y,z) at Et 令:请当/f=E得:f( 方 at 由于指数只能是无量纲的数,所以E必定具有能量 的量纲,即以能量的单位J为单位
4. 定态薛定谔方程 将上式代入一般薛定谔方程并除以上式得 = 常数 + = − / ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 f t t f t U x y z i x y z x y z m 令： f E t f i = / 得： Et i f t e − ( ) = 由于指数只能是无量纲的数，所以E必定具有能量 的量纲，即以能量的单位J为单位。 t U i m x + = − 2 2 2 2 (x, y,z,t) =(x, y,z) f (t) 条件：势能函数U=U(x,y,z)不随时间变化, 则波函数 可以分离变量, 即表示成
方2Vyr(x,y,z) +U(x,y,)=E 2m y(x,y, z) h v(x,y, 2)+U(x,y, zy(x,y, a)=Ey(x,y, z) 得:2m 2 即定态薛定谔方程: 2m V+Uv=EY 解出定态波函数y(x,y,x)后可得总波函数为: y(x,y,a,)=v(x,y,x)e-(概率密度与 时间无关 yY=Y x iEt/n iETm=y'y=lv
U x y z E x y z x y z m + = − ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 令： 得： ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 2 x y z U x y z x y z E x y z m − + = 即定态薛定谔方程： U E m − + = 2 2 2 / ( , , , ) ( , , ) iEt Ψ x y z t ψ x y z e − = 2 * * / / * 2 = = = = − Ψ Ψ Ψ ψ e e ψ iEt iEt 解出定态波函数 (x, y,z) 后可得总波函数为： 概率密度与 时间无关
讨论定态薛定谔方程的意义: Vy+Uy=E 2m 质量为m(不考虑相对论效应)的粒子在势能为U 的势场中运动时,有一组v(x,y,x)与粒子稳定态相对 应,这波函数满足定态薛定谔方程。定态薛定谔方程 每一个解,即一组v(x,y,z)的每一个,表示粒子的一 个定态。这个解对应的常数E就是这个定态具有的能 量,称为本征值,相应的函数叫本征解或本征函数。 利用薛定谔方程,再加上波函数标准条件,可以 “自然地”得到微观粒子的重要特征一量子化结果, 而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方 程的结果,已被无数实验所证实
质量为m（不考虑相对论效应）的粒子在势能为U 的势场中运动时，有一组 与粒子稳定态相对 应，这波函数满足定态薛定谔方程。定态薛定谔方程 每一个解，即一组 的每一个, 表示粒子的一 个定态。这个解对应的常数 E 就是这个定态具有的能 量，称为本征值，相应的函数叫本征解 或 本征函数。 (x, y,z) (x, y,z) 利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，可以 “自然地” 得到微观粒子的重要特征—量子化结果, 而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方 程的结果，已被无数实验所证实。 定态薛定谔方程的意义： U E m − + = 2 2 2
5、状态叠加原理:如果v1,v2,…,Vn,…等(或简 写为{n})都是体系的可能状态或称基矢,那么,y 它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。 即y=C11+C2y2+…+ C,YU+ 其中的系数C1,C2,…,Cn,为复数,它们模平 方是在对应态粒子出现的概率。 它们满足:1=∑Cn2 n称为基矢的完备集
= + + + + C1 1 C2 2 Cn n 其中的系数 为复数，它们模平 方是在对应态粒子出现的概率。 C ,C , ,C , 1 2 n 即 它们满足： = n Cn 2 1 n 称为基矢的完备集 5、状态叠加原理：如果 等（或简 写为 ）都是体系的可能状态或称基矢，那么， 它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。 1 2 , , , , n n
6、力学量算符 量子力学中,粒子出现具有概率性,因而带来量子 力学的概率性或不确定性,与经典力学不同,量子 力学的力学量是算符,而不是常规量 如能量算符记为哈密顿算符庄 1)力学量算符的本征方程、本征值和本征态: 对每个算符都有对应的本征方程: Hvn=Envn称为能量算符的本征方程 它表示当作用在波函数上以后,得到一个新的 波函数EnV它与Wn只差一个常数因子En
6、 力学量算符 量子力学中，粒子出现具有概率性，因而带来量子 力学的概率性或不确定性，与经典力学不同，量子 力学的力学量是算符，而不是常规量。 1) 力学量算符的本征方程、本征值和本征态： 如能量算符记为哈密顿算符 H ˆ H n En n ˆ = 对每个算符都有对应的本征方程: 称为能量算符的本征方程 它表示当 作用在波函数上 以后，得到一个新的 波函数 ，它与 只差一个常数因子 . E n n n E n H ˆ n