第二章薛定谔方程 (Schrodinger Equation §21薛定谔得出的波动方程 §22无限深方势阱中的粒子 §23势垒穿透 §24谐振子
第二章 薛定谔方程 (Schrödinger Equation) §2.1 薛定谔得出的波动方程 §2.2 无限深方势阱中的粒子 §2.3 势垒穿透 §2.4 谐振子
§21薛定谔得出的波动方程 Wave Equation of Schrodinger 波函数 微观粒子具有波粒二象性,它的状态用波函数y(F,) 描述。波动性和粒子性的关系为:波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说,t时刻在空间(x,yz)点附近 的体积元d内发现粒子的概率正比于|v(xy,x,2dv, 其中y(xy,z,1)为波函数,Vy(xy,z)P为相对概率密度。 由于波函数v的概率解释,y可以相差一个任意 常数因子A,即y和Ay代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别
一、波函数 §2.1 薛定谔得出的波动方程 (Wave Equation of Schrödinger ) 由于波函数 ψ 的概率解释， ψ可以相差一个任意 常数因子A，即 ψ 和 Aψ 代表相同的状态。这一点与经 典力学有本质区别。 微观粒子具有波粒二象性, 它的状态用波函数 描述。波动性和粒子性的关系为：波的强度正比于粒 子到达的概率。具体地说, t 时刻在空间 (x,y,z) 点附近 的体积元 dV 内发现粒子的概率正比于 |ψ(x,y,z,t)|2dV， 其中 ψ(x,y,z,t) 为波函数，|ψ(x,y,z,t) |2为相对概率密度。 (r,t)
由于波函数y(r,)的概率解释,粒子在整个空间出 现的概率为1,所以y应该满足波函数的归一化条件: ∫jyw=1(2-全空间 已知φ(,D)是未归一化的波函数,则令y=Ap, 它们描述同一个状态,有 yl dv=jlao dv=la Jod=1 所以A= q ∫ar 这样得到的波函数y已经满足归一化条件,我们 就说ψ已归一化,并用v代替ρ描述这个状态
1 2 2 2 2 = = = dV A dV A dV 所以 = = dV dV A 2 2 1 , 1 这样得到的波函数 ψ 已经满足归一化条件，我们 就说 ψ 已归一化，并用ψ 代替 φ 描述这个状态。 1 2 = dV ( −全空间) 已知 是未归一化的波函数，则令 ψ = Aφ， 它们描述同一个状态，有 (r,t) 由于波函数 的概率解释, 粒子在整个空间出 现的概率为1，所以ψ应该满足波函数的归一化条件： (r,t)
波函数的物理意义:在空间很小的区域x-x+△C, -y+4y,z-z+△内,波函数可视为不变,粒子 在=xd内出现的概率,正比于平和d y2-在t时刻粒子出现在(x,x)点处单位体 积内出现的概率密度。 y2v-在t时刻粒子出现在(x,y,z)点附近d 体积元内出现的概率 「a乙-在t时刻粒子出现在v体积内的概率。 波函数的标准条件 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的,所以要求波函数y单值、连续、有限的 这称为波函数的标准条件,它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义,不代 表物理实在
波函数的物理意义： ψ 2dV － 在 t 时刻粒子出现在 (x, y, z) 点附近 dV 体积元内出现的概率。 dV V 2 － 在 t 时刻粒子出现在V 体积内的概率。 ψ 2 － 在 t 时刻粒子出现在 (x,y,z) 点处单位体 积内出现的概率密度。 二、波函数的标准条件： 由于微观粒子在空间出现的概率必须单值、连续、 有限的，所以要求波函数 ψ 单值、连续、有限的。 这称为波函数的标准条件，它在求解波函数时起着重 要作用。不满足这些条件的函数没有物理意义，不代 表物理实在。 在空间很小的区域 ， , 内，波函数可视为不变，粒子 在dV=dxdydz内出现的概率, 正比于 和dV。 x − x + x y − y + y z − z + z 2
例:将波函数f(x)=exp(-a2x2)归一化 设归一化因子为A,则归一化的波函数为 y(x)=Aexp(ax/2) ●● 计算积分得:/2_a A=(12 1/2 1/2 元 元 则归一化的波函数为: y(x)=( a√exp(-a2x2/2 1/2 元
设归一化因子为A，则归一化的波函数为 计算积分得： 则归一化的波函数为: + − ( ) = 1 2 x dx 例：将波函数 f (x) = exp(− 2 x 2 2) 归一化。 ( ) exp( / 2) 2 2 x = A − x 1/ 2 2 A = 1/ 2 1/ 2 ( ) A = ( ) ( ) exp( / 2) 1/ 2 2 2 1/ 2 x x = −