大学物理：《量子物理 QUANTUM PHYSICS》课程教学资源（PPT课件）第二章 薛定谔方程（Schrödinger Equation）

三、薛定谔方程(非相对论): 在经典力学中,物体的运动满足牛顿定律,它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 在量子力学中,微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律,也就是波函 数y随时间和空间的变化规律。v满足的方程,薛 定谔方程是量子力学的基本方程,在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位

在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给 出了物体运动状态随时间的变化规律。 三、薛定谔方程（非相对论）： 在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔 方程描述。所谓微观粒子的运动规律, 也就是波函 数 ψ 随时间和空间的变化规律。ψ 满足的方程，薛 定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的 地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位

问题的提出: 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲 De broglie的 那篇学位论文呢? 月以后:薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 薛 德拜 定 波,应该有一个波动方谔 程”。薛定谔(1926) 提出了非相对论性的薛定谔方程: 瑞士联邦工业大学 物理讨论会(1926) n2(a型xB八U(x,x1=。y azy 2m ax a at 狄拉克(1928)提出了相对论性的狄拉克方程,它们是 量子力学的基本方程,二人分享了1933年诺贝尔物理学奖

问题的提出： 德拜:问他的学生薛定谔能不能讲一讲De Broglie的 那篇学位论文呢？ 一月以后：薛定谔向大家 介绍了德布罗意的论文。 德拜提醒薛定谔:“对于 波，应该有一个波动方 程” 瑞士联邦工业大学 物理讨论会（1926） 德 薛 拜 定 谔 。 薛定谔（1926） 提出了非相对论性的薛定谔方程： t Ψ U x y z t Ψ i z Ψ y Ψ x Ψ m   + =           +   +   −   ( , , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 狄拉克（1928）提出了相对论性的狄拉克方程，它们是 量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖

1.一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动,波函数为Y(x,D)=Ve=(e-nx) ayp 对x求二阶偏导 2平(1) oyp 对球求一阶偏导arh Ey(2) 由(2)式可得0yh ay p ay i代入(1)式ax2=ihr 由E=P h 8y ay 可得薛定谔方程 2m 2m ax at

1. 一维自由粒子的薛定谔方程 设粒子沿x方向运动, 波函数为 ( ) 0 ( , ) Et px i x t e − − =    对x求二阶偏导 对t求一阶偏导   2 2 2 2  p x = −   （1）   E i t  = −   （2） 由(2)式可得 t iE    = −   代入(1)式 iE t p x   =      2 2 2 t i m x   =   −     2 2 2 2 可得薛定谔方程 m p E 2 2 由 =

2.势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量的m+U(x,)(3) ay 方10y ax 由(2)式可得E (4) ap i (1) i v at E 由(1)式可得p2=_n202y at h (5) (2) yp ax 2 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 E≡i = x三 at ax 将(4),(5代入③3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 对一维情况有:-。y+(xWy=i 2m ax2 at 这个方程称为含时薛定谔方程,式中波函数是时空点的函 数y=y(x,0,U(x,)是粒子在场中的势能函数

2. 势场中一维粒子的一般薛定谔方程 势场中粒子能量 ( , ) 2 2 U x t m p E = + （3） 由(2)式可得 i t E   = −    1 （4） 由(1)式可得 2 2 2 2 x P   = −    （5） 将(4), (5)代入(3)可得势场中一维粒子一般薛定谔方程 物理启示:定义能量算符,动量算符和坐标算符 x x x p i t E i x     −    ˆ ˆ ˆ   = −     2 2 2 2  p x （1） = −    E i t  （2） 对一维情况有： t Ψ U x t Ψ i x Ψ m   + =   −   ( , ) 2 2 2 2 这个方程称为含时薛定谔方程，式中波函数是时空点的函 数 Ψ = Ψ (x, t)，U(x, t) 是粒子在场中的势能函数

3势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 2max2a,2+02)+0=O 方202y02y02y at 引入拉普拉斯算符V2020202 ax ay 。2 2 上式写成 ap Vy+Uy=边 2 m 引入哈密顿算符方2 V+U 2m 可得一般形式的薛定谔方程y=边 oy at

3. 势场中三维粒子的薛定谔方程 将势场中一维粒子的一般薛定谔方程推广到三维情况 t U i m x y z   + =   +   +   −        ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 引入拉普拉斯算符 2 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    = 上式写成 t U i m   −  + =      2 2 2 引入哈密顿算符 U m H = −  + 2 2 2 ˆ  可得一般形式的薛定谔方程 t H i   =    ˆ