对f”(t)取拉氏变换 F(S)=LIf (t)]=L[ f(nt)8(t-nT)] 根据拉氏变换,位移定理 L[8 (tnT)JesSo 8(t)esdt=e 故 F(S)=> f(nt)e 4.几点说明 (1)f*(t)只描述了f(t)在采样瞬时的数值,故F(s) 不能给出连续函数f(t)在采样间隔之间的信息 (2)采样拉氏变换F(s)与连续信号f(t)的拉氏变换F (s)类似如f(t)有理函数, F(S)也总可以表示成e的有理函数形式 (3)求F(S)过程中,初始值常规定采用f(0)。 5.举例: 设e(t)=f(t)试求e(t)的拉氏变换 解:E(S)=e(nt)em=1+e-+e-+… =∑Lant)ems 为无穷等比级数,公比为e求和后得闭合形式 E·(S)= (es|<1) 显然,E(S)是e的有理函数 尽管可以得到有理函数,但是一个超越方程λ变量s的超越 方程不便与分析和设计,以后讲Z变换可以把S的超越方程变换 为变量Z的代数方程 二、采样定理 连续信号f(t)经采样信号f(t)只能给出采样点上的数值, 不知道各采样时刻之间的数值。因此,从时域上看采样过程损失 了f(t)所含的信息。 怎样才能使采样信号f*(t)大体上正反映连续信号f(t)的 变化规律呢? 1.采样函数的频谱分析
对 f * (t)取拉氏变换 F * (S)=L[f* (t)]=L[ n=0 f(nt) δ（t-nT）] 根据拉氏变换，位移定理 L [δ（t-nT）]=e-nTS∫0 ∞δ(t) e-Stdt= e-nTS 故 F * (S)= n=0 f(nT) e-nTS 4.几点说明 （1）f * (t)只描述了 f(t)在采样瞬时的数值，故 F * (s) 不能给出连续函数 f(t)在采样间隔之间的信息 （2）采样拉氏变换 F * (s)与连续信号 f(t)的拉氏变换 F （s）类似如 f(t)有理函数， F *（S）也总可以表示成 e TS的有理函数形式 （3）求 F *（S）过程中，初始值常规定采用 f(0+ )。 5.举例： 设 e(t)=f(t) 试求 e * (t)的拉氏变换 解: E* (S)= n=0 e(nt) e-nTS=1+ e-TS+ e-2TS+… = ∑L(nt) e-nTS 为无穷等比级数，公比为 e -TS 求和后得闭合形式 E *（S）= 1 1 1 − = − TS TS TS e e e （| TS e − |<1） 显然，E * (S)是 e TS的有理函数 尽管可以得到有理函数，但是一个超越方程λ变量 s 的超越 方程不便与分析和设计，以后讲 Z 变换可以把 S 的超越方程变换 为变量 Z 的代数方程 二、采样定理 连续信号 f(t)经采样信号 f * (t)只能给出采样点上的数值， 不知道各采样时刻之间的数值。因此，从时域上看采样过程损失 了 f(t)所含的信息。 怎样才能使采样信号 f*(t)大体上正反映连续信号 f(t)的 变化规律呢？ 1.采样函数的频谱分析
采样函数r(t)=f(t)∑8(t-n)=f(t)6T(t) 6T(t)理想单位脉冲序列是一个周期函数,可以展开为傅 立叶级数 8T(t)=>ce 采样角频率 付氏级数C、1 由于[ TT ]区间内,δ1(t)仅在t=0时有值(=1), 22 并且 ei0.|l=0=1 故Cn=o()dt=T 则8r(t)= f(t)=∑f(eo, 取拉氏变换复数位移定理 F*(S) (s+jn@J) 如果F*(s)没有右半平面的极点,则可令 S=nM F*(n) I SOW+jmw 该式表明了采样函数频谱和连续函数频谱之间的关系 F()-连续函数f()的频谱函数 F*(m)一采样函数f*()的频谱函数 上式展开 (n-j2v,) iw-jw)+=F(
采样函数 f * (t)=f(t) n=- δ（t-nT）=f(t) δT（t） δT（t）理想单位脉冲序列是一个周期函数，可以展开为傅 立叶级数 δT（t）= n=- C n e jn s t ω s = T 2 采样角频率 Cn 付氏级数 C n = T 1 − 2 2 ( ) T T T t e -3n s t dt 由于[- 2 T ， 2 T ]区间内，δT（t）仅在 t=0 时有值（=1）， 并且 e -jn s t | t=0 =1 故 C n = T 1 + − = 0 0 1 ( ) T t dt 则δT（t）= T n=− 1 e jn s t f * (t)= n=− f t T ( ) 1 e jn s t 取拉氏变换 复数位移定理 F *（S）= =+ =− + n n s F s jn T ( ) 1 如果 F * (s) 没有右半平面的极点，则可令 s = jw 得 =− = + n s F jw jnw T F jw ( ) 1 *( ) 该式表明了采样函数频谱和连续函数频谱之间的关系。 F( jw) —连续函数 f (t) 的频谱函数 F * ( jw) —采样函数 f * (t) 的频谱函数 上式展开 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 *( ) F j w T F j w j w T F j w j w T F j w = + − s + − s +
+F(n+mw,)+F(n+2w,)+ n=0时,F*()=F(w)称为主分量。(主频谱) n≠0时,为高频分量,称外分量 采样周期不同,有不同的频谱周期 T→ f→2 T↑→>w↓ ①T=0,w=∞,即不采样。连续函数 IF(jw ) f(t) 只有一个在一w和ν频率之间孤立的频谱 ②T较小,w,>2wm采样后∫* △ 此时采样∫*()谱频互不重叠,其主分量频带宽度与连续少数频 带宽度相同,但幅值仅为连续频谱的,其余正负方向的高频段, 频谱与主频宽相同,只是每频谱中的频率相差一个采样频率ν ③W,=2m 采样后∫*()频谱相交,不重叠
+ + + ( + 2 ) + 1 ( ) 1 s s F jw jw T F jw jw T n = 0 时， ( ) 1 * ( ) F jw T F jw = 称为主分量。（主频谱） n 0 时，为高频分量，称外分量。 采样周期不同，有不同的频谱周期 , 1 f T → f → 2w， T → ws ， T ws 2 = ① T = 0， ws = ，即不采样。 连续函数 只有一个在－ wmax 和 wmax 频率之间孤立的频谱。 ②T 较小， ws >2 wmax 采样后 f * (t) 此时采样 f * (t) 谱频互不重叠，其主分量频带宽度与连续少数频 带宽度相同，但幅值仅为连续频谱的 T 1 ，其余正负方向的高频段， 频谱与主频宽相同，只是每频谱中的频率相差一个采样频率 ws 。 ③ ws = 2wmax 采样后 f * (t) 频谱相交，不重叠
f°(t) F*Gw)I Wmax o ④T较大,w,<2wm FUw) W ∫*(ω)频谱分量彼此重叠,变成连续频谱,重叠后频谱形状与 原信号|F(n)不同。 ⑤结论 如果ν>2w,离散的频谱彼此之间不会重叠,只要用一个 理想的滤波器,将w高于|wm|的所有边带(外)频谱全部滤掉, 剩下的只有主分量F(n),这就能复现连续函数的原貌,但必须 使幅值提高_,才能真正复现原函数。 2.香农采样定理 1)定理:对于一个有限频谱(-wm<w<wm)的连续信号进行 采样,当采样频率w,≥2w时,采样信号能无失真的复现原来 的连续信号。 采样周期T满足T≤2z 2w
④ T 较大， ws 2wmax f * (t) 频谱分量彼此重叠，变成连续频谱，重叠后频谱形状与 原信号 | F( jw) | 不同。 ⑤结论 如果 ws 2wmax ，离散的频谱彼此之间不会重叠，只要用一个 理想的滤波器，将 w 高于 | | wmax 的所有边带（外）频谱全部滤掉， 剩下的只有主分量 F( jw) ，这就能复现连续函数的原貌，但必须 使幅值提高 T 1 ，才能真正复现原函数。 2.香农采样定理 1）定理：对于一个有限频谱（－ wmax <w< wmax ）的连续信号进行 采样，当采样频率 ws 2wmax 时，采样信号能无失真的复现原来 的连续信号。 采样周期 T 满足 2 max 2 w T f*(t) Wmax Ws w |F*(jw)| 0 0 t Ws w |F*(jw)| 0 0 f*(t) t
2)说明 ①采样定理只给出了一个选择采样周期T或采样频率f的指导原 则,并未给出具体计算公式。 ②T↓→w,↑→控制信号多,控制效果好 T↓>计算量↑>复杂控制规律难以实现 T↑→控制过程有误差↑→动态性能↓→甚至可能导致整个控 制系统失去稳定。 采样周期选择是数字控制子系统设计中的关键因素之一。 要依据实情况综合考虑,合理选择。 三、信号保持 要复现原信号必须把采样信号的高频分量滤掉,理想滤波器 是一个在处截止的低频滤波器,但实际上得不到这种理想滤波 器,只能有性能接近的滤波器,一般采用保持器。 F gw) Ws/20 Ws/2 1.保持器 保持器是一种延迟滤波器,他把采样时刻的信号不便的保持 到下一采样时刻,或是将信号接线形函数。抛物线函数或其他时 间函数关系推迟到下一采样时刻。根据所得特性不同,分为零阶 保持,一阶保持,高阶保持。 保持器是具有外推功能的文件,即现在时刻的输出信号取决于过 去时刻离散信号的外推。实现外推的方法,常用幂级数开公式 f(0)=f(m1)+f(n7)-m1+(m1(-m7)+ HT≤t≤(n+1)T f(m)={(n)-f(n-1l
2）说明 ①采样定理只给出了一个选择采样周期 T 或采样频率 f 的指导原 则，并未给出具体计算公式。 ② T → ws → 控制信号多，控制效果好 T → 计算量 → 复杂控制规律难以实现 T → 控制过程有误差 → 动态性能 → 甚至可能导致整个控 制系统失去稳定。 采样周期选择是数字控制子系统设计中的关键因素之一。 要依据实情况综合考虑，合理选择。 三、信号保持 要复现原信号必须把采样信号的高频分量滤掉，理想滤波器 是一个在 处截止的低频滤波器，但实际上得不到这种理想滤波 器，只能有性能接近的滤波器，一般采用保持器。 1.保持器 保持器是一种延迟滤波器，他把采样时刻的信号不便的保持 到下一采样时刻，或是将信号接线形函数。抛物线函数或其他时 间函数关系推迟到下一采样时刻。根据所得特性不同，分为零阶 保持，一阶保持，高阶保持。 保持器是具有外推功能的文件，即现在时刻的输出信号取决于过 去时刻离散信号的外推。实现外推的方法，常用幂级数开公式 = + − + − + 2 '' ' ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) t nT f nT f n t f nT f nT t nT nT t (n +1)T f (nT ) f (n )T T f nT 1 1 ( ) ' = − − -Ws/2 0 Ws/2 w |F (jw)|