第七讲：假设检验 72一样本和两样本总体参数检验 1 7.2.1一样本正态总体参数检验 1 7.2.2两样本正态总体的情形.. 13 7.2.3 成对数据···· 18 7.2.40-1分布中未知参数p的假设检验 19 7.2.5置信区间和假设检验之间的关系..·· 21 Previous Next First Last Back Forward
第七讲: 假设检验 7.2 一样本和两样本总体参数检验 . . . . . . . . . 1 7.2.1 一样本正态总体参数检验 . . . . . . . 1 7.2.2 两样本正态总体的情形 . . . . . . . . . 13 7.2.3 成对数据 . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.2.4 0-1 分布中未知参数 p 的假设检验 . . 19 7.2.5 置信区间和假设检验之间的关系 . . . . 21 Previous Next First Last Back Forward 1
7.2一样本和两样本总体参数检验 本节介绍最基本的假设检验问题：一样本和两样本正态总体的有 关均值和方差的检验，简单的大样本检验(0-1分布参数的假设检验). 7.2.1一样本正态总体参数检验 一股地，设总体X~N(4,a2),-0<4<0,o2>0:X1,·,Xn 是取自总体X的一个样本.取显著性水平为α.则可能考虑的参数有 均值4和方差σ2： (1)方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设，即要检验 H0:4=40+H1:μ≠0. Previous Next First Last Back Forward 1
7.2 一样本和两样本总体参数检验 本节介绍最基本的假设检验问题: 一样本和两样本正态总体的有 关均值和方差的检验, 简单的大样本检验 (0-1 分布参数的假设检验). 7.2.1 一样本正态总体参数检验 一般地, 设总体 X ∼ N(µ, σ2 ), −∞ < µ < ∞, σ2 > 0; X1, · · · , Xn 是取自总体 X 的一个样本. 取显著性水平为 α. 则可能考虑的参数有 均值 µ 和方差 σ 2 : (1) 方差已知时均值的检验 先考虑双侧假设, 即要检验 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ ̸= µ0. Previous Next First Last Back Forward 1
由于：的极大似然估计为灭，取“标准化”后的检验统计量 Z=Z(X1,…,Xn)=√元2 注意到当Ho成立时，U~N(0,1),|Z应该较小，反之当U的观 测值(c1,·,xn)较大时，不利于零假设Ho应该拒绝之.所以选拒 绝域形如 IZ>}. 要求显著性水平为α，即 PHo(IZ\>T）=a, 解得r=2。/2·于是检验的拒绝域为 {|Z\>ua2}. 即当观测值(x1,·,xn)满足不等式 V-ol >ua/2 Q Previous Next First Last Back Forward 2
由于 µ 的极大似然估计为 X¯, 取 “标准化” 后的检验统计量 Z = Z(X1, · · · , Xn) = √ n X¯ − µ0 σ 注意到当 H0 成立时, U ∼ N(0, 1), |Z| 应该较小, 反之当 |U| 的观 测值 z(x1, · · · , xn) 较大时, 不利于零假设 H0 应该拒绝之. 所以选拒 绝域形如 {|Z| > τ}. 要求显著性水平为 α, 即 PH0 (|Z| > τ ) = α, 解得 τ = zα/2. 于是检验的拒绝域为 {|Z| > uα/2}. 即当观测值 (x1, · · · , xn) 满足不等式 √ n |x¯ − µ0| σ > uα/2 Previous Next First Last Back Forward 2
时拒绝Ho 类似地，检验右侧假设 Ho:μ=o分H1:4>μ0或者H0:μ≤40+H:μ>0 仍然用统计量Z,由于Z大时不利于Ho,取拒绝域为 {Z>ua}. 而检验另一个左侧假设 H0:4=40台H1:4<μ0或者H0:4≤0+1：4<0 的拒绝域为 {Z<-ua}. 虽然我们取的临界值只考虑使检验在μ=0处的犯I类错误的概率 为α，从检验的拒绝域的形状上可直接看出来在零假设下μ≤o(或 4之o)时犯第I类错误的概率恒小于或等于a. Previous Next First Last Back Forward 3
时拒绝 H0. 类似地, 检验右侧假设 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ > µ0 或者 H0 : µ ≤ µ0 ↔ H1 : µ > µ0 仍然用统计量 Z, 由于 Z 大时不利于 H0, 取拒绝域为 {Z > uα} . 而检验另一个左侧假设 H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ < µ0 或者 H0 : µ ≤ µ0 ↔ H1 : µ < µ0 的拒绝域为 {Z < −uα} . 虽然我们取的临界值只考虑使检验在 µ = µ0 处的犯 I 类错误的概率 为 α, 从检验的拒绝域的形状上可直接看出来在零假设下 µ ≤ µ0 (或 µ ≥ µ0) 时犯第 I 类错误的概率恒小于或等于 α. Previous Next First Last Back Forward 3
以上三个检验统称为Z检验： 随机地从一批铁钉中抽取16枚，测得它们的长度（单位：厘米） ↑Example 如下： 2.9423712.988662 3.106234 3.1093163.118427 3.132254 3.1400423.170188 2.9025623.128003 3.1464412.978240 3.1036003.003394 3.044384 2.849916 已知铁钉长度服从标准差为0.1的正态分布，在显著性水平a= 0.01下，能否认为这批铁钉的平均长度为3厘米？如显著性水平为 a=0.05呢？ Example 解：这是方差已知时关于均值μ的假设检验问题， Ho:μ=3←+H1:4≠3. Previous Next First Last Back Forward 4
以上三个检验统称为 Z 检验. ↑Example 随机地从一批铁钉中抽取 16 枚, 测得它们的长度 (单位: 厘米) 如下: 2.942371 2.988662 3.106234 3.109316 3.118427 3.132254 3.140042 3.170188 2.902562 3.128003 3.146441 2.978240 3.103600 3.003394 3.044384 2.849916 已知铁钉长度服从标准差为 0.1 的正态分布, 在显著性水平 α = 0.01 下, 能否认为这批铁钉的平均长度为 3 厘米? 如显著性水平为 α = 0.05 呢? ↓Example 解: 这是方差已知时关于均值 µ 的假设检验问题, H0 : µ = 3 ↔ H1 : µ ̸= 3. Previous Next First Last Back Forward 4