87.2.电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 11/71 872电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 72.1电子自旋算符 由于电子自旋无经典对应物,所以无法直接把电子自旋算符(自 旋1/2算符)表示为(G,p)的函数.为求出电子自旋算符的正确表 示,首先总结电子自旋的性质 大自旋具有角动量的特征,所以自旋算符应满足角动量算符的对易 关系 s×s=i§ 在z方向取值只能为±,S2的本征值是±, 同理:S,、S2的本征值也是±,即:s2=s2=52= ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.2. >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 11/71 §7.2 >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 7.2.1 >fg^Î du>fg^ò;éAÔ§¤±Ã{r>fg^Σg ^ 1/2 ΤL« br, bp ¼ê©¦Ñ>fg^Î(L «§Äko(>fg^5µ ✿ g^äkÄþA§¤±g^ÎA÷vÄþÎé´ 'Xµ b S~ × b S~ = i~ b S~ ✿ b S~ 3 z U ± ~ 2§Sbz ´ ± ~ 2§sz = ± ~ 2 ÓnµSby!Sbz ´ ± ~ 2§=µs 2 x = s 2 y = s 2 z = ~ 2 4
87.2.电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 12/71 所以S2的本征值为: s2=s(s+1)h2=S2+S2+ 只要满足上述两性质,就是电子自旋算符(自旋1/2算符)的正 确表示;显然对电子自旋算符的表示可以有很多种.如:泡利矩 阵、 Schwinger玻色子法、 Jordan- Wigner变换等 将上式与轨道角动量平方算符的本征值L2=l(l+1)2比较,可 知s与角量子数相当,我们称s为自旋量子数.但必须注意s只能取 个值,即 722泡利矩阵表示 引入算符 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.2. >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 12/71 ¤±Sb2 µ S 2 = s(s + 1) ~ 2 = S 2 x + S 2 y + S 2 z = 3 4 ~ 2 , s = 1 2 ÷vþãü5§Ò´>fg^Σg^ 1/2 Τ (L«¶w,é>fg^ÎL«±kéõ«©Xµ|Ý !Schwinger ÀÚf{!Jordan-Wigner C © òþª;Äþ²Î L 2 = l(l + 1)~ 2 '§ s þf꧷¡ s g. ^. þ. f. ê. ©7L5¿ s U §= s = 1 2© 7.2.2 |Ý L« Ú\Î σb : Sb = ~ 2 σ, b
87.2.电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 13/71 即: 为满足对易关系: §×§=is, 得到G满足的对易关系 G×G=2i, 即: 2i0 G,02-G0,=20 02Ox-OrO2=2ioy ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.2. >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 13/71 =µ Sbx = ~ 2 σbx, Sby = ~ 2 σby, Sbz = ~ 2 σbz . ÷vé´'Xµ b S~ × b S~ = i~ b S~ , σb÷vé´'Xµ σb × σb = 2iσ, b =µ σbxσby − σbyσbx = 2iσbz σbyσbz − σbzσby = 2iσbx σbzσbx − σbxσbz = 2iσby
87.2.电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 14/71 Sx,Sy,S2的本征值都是士,所以:0x,O,2的本征值为都是 士1 所以 1 所以,存各分量间满足反对易关系 O oy+ oyox-2i 00v= 0 同理 CoZ+ azoy +orz=0. 在G2表象中求解,O2的本征值为±1,所以02在自身表象中为对角 矩阵,矩阵元为本征值 10 10 1 0-1 01 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.2. >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 14/71 Sbx, Sby, Sbz Ñ´ ± ~ 2§¤±µσx, σy, σz Ñ´ ±1© ¤±µ σ 2 x = σ 2 y = σ 2 z = 1. ¤±§b~σ ©þm÷vé´'Xµ σbxσby + σbyσbx = 1 2i σbyσbz − σbzσby σby + 1 2i σby σbyσbz − σbzσby = 0. Ónµ σbyσbz + σbzσby = σbzσbx + σbxσbz = 0. 3σbzL¥¦)§σz ±1§¤±σbz3g L¥é Ý §Ý µ σbz = 1 0 0 −1 ! , σb 2 z = 1 0 0 1! = 1
87.2.电子的自旋算符和自旋函数(不要求) 15/71 为求得G和0,在G表象中的矩阵表示,设 1lt12 11D12 21a22 b21b22 利用反对易关系: 10 11a12 11a12 10 TzOxtoroz= 21a22 a21 a 0-1 11a12 11-a12 2 a21-a22 21-a22 0-a 0 a 所以:a1=a22=0,即:Gx 21 0 0 a122 10 a210 12 0 0|a2l2 0 所以:|a12=|a212=1 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.2. >fg^ÎÚg^¼ê(ئ) 15/71 ¦σbxÚσby3σbzL¥Ý L«§µ σbx = a11 a12 a21 a22! , σby = b11 b12 b21 b22! |^é´'Xµ σbzσbx + σbxσbz = 1 0 0 −1 ! a11 a12 a21 a22! + a11 a12 a21 a22! 1 0 0 −1 ! = a11 a12 −a21 −a22! + a11 −a12 a21 −a22! = 2 a11 0 0 −a22! = 0 ¤±µa11 = a22 = 0§=µσbx = 0 a12 a21 0 ! σb 2 x = 0 a12 a21 0 ! 0 a ∗ 21 a ∗ 12 0 ! = |a12| 2 0 0 |a21| 2 ! = 1 0 0 1! ¤±µ|a12| 2 = |a21| 2 = 1