【例41-7】已知y=esin2x-0.5(x+0.1)sinx, 在19菊9俱求截腰数的最小值。 x1=-10:X2=10 yX=@(x)(sin(x)^2*exp(-01*X1-0.5*sn(x)”(x+0.1) iNo, fval, exitflag, output]fminbnd(yx, x1, x2) Xno a 2.514797840754235 fva=%比“导数为零法”求得的极值更小,更可能是最小 值 0.499312445280039 eXittlag output iterations: 13 funcCount: 14 algorithm: golden section search, parabolic interpolation L. message: [ 1x112 char 2021/1/26 第16页
2021/1/26 第16页 【例4.1-7】已知 ， 在-10≦x≦10区间，求函数的最小值。 0.1 2 sin 0.5( 0.1)sin x y e x x x − = − + （2）采用优化算法求极小值 x1=-10;x2=10; yx=@(x)(sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1)); [xn0,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx,x1,x2) xn0 = 2.514797840754235 fval = %比“导数为零法”求得的极值更小, 更可能是最小 值 -0.499312445280039 exitflag = 1 output = iterations: 13 funcCount: 14 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char]
【例41-7】已知y=e 在10三x三10区间,求 (3)绘图观察最小值 Xx=10:pi/200:10 yxX=subs(y, x, xX) plot(xx,yXx) xlabel(x), grid on (4)据图形观察,重设 fminbnd的搜索区间 x11=6:X2=10: yX=@(X)(sin(x)2*exp(-0.1*×)-0.5′sn(x)*(X+0.1) [Xn0o, fval, exitflag, output]=fminbnd(yx, x11, X2) xn00=8.023562824723015 fval=3568014059128578%最小值 exitflag= 1 output iterations: 9 func Count: 10 algorithm: golden section search, parabolic interpolation message: 1x112 char
2021/1/26 第17页 【例4.1-7】已知 ， 在-10≦x≦10区间，求函数的最小值。 0.1 2 sin 0.5( 0.1)sin x y e x x x − = − + （4）据图形观察，重设fminbnd的搜索区间 x11=6;x2=10; yx=@(x)(sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1)); [xn00,fval,exitflag,output]=fminbnd(yx,x11,x2) xn00 = 8.023562824723015 fval = -3.568014059128578 %最小值 exitflag = 1 output = iterations: 9 funcCount: 10 algorithm: 'golden section search, parabolic interpolation' message: [1x112 char] （3）绘图观察最小值 y=sin(x)^2*exp(-0.1*x)-0.5*sin(x)*(x+0.1); xx=-10:pi/200:10; yxx=subs(y,x,xx); plot(xx,yxx) xlabel('x'),grid on -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
例41-8:fxy)=10(y-x2)2+(1-x)2在区间[5的极小值 其理论极小值点为x=1y=1用x的‘二元向量’表示 fa(x)100*(x(2)x(1)^2)2+(1x(1)y2;,%匿名函数 x0=52,2,5:5,2,5:%个搜索起点X0=5225 [Sx, Sfval, sexit, Soutput]=fminsearch(, 0)-5-2 25 %sx给出一组使优化函数值非减的局部极小点 sX=0.99998-0.689710415078.0886 099997191684.9643 7.8004 sfva|=24112e010 format short e%取5位科学计数法 disp(fsx(:21),f(sx(:2),f(Sx(:23),f(sx(,4)]) 24112e-01057525e+0022.2967e+00333211e+005 2021/1/26 第18页
2021/1/26 第18页 例4.1-8: f(x,y)=100(y-x 2 ) 2+(1-x)2在区间[-5,5]的极小值 ff=@(x)100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2; %匿名函数 x0=[-5,-2,2,5;-5,-2,2,5]; %4个搜索起点 [sx,sfval,sexit,soutput]=fminsearch(ff,x0) 其理论极小值点为x=1, y=1 %sx给出一组使优化函数值非减的局部极小点 sx = 0.99998 -0.68971 0.41507 8.0886 0.99997 -1.9168 4.9643 7.8004 sfval = 2.4112e-010 2.4112e-010 5.7525e+002 2.2967e+003 3.3211e+005 format short e %取5位科学计数法 disp([ff(sx(:,1)),ff(sx(:,2)),ff(sx(:,3)),ff(sx(:,4))]) 用x的‘二元向量’表示 x,y x0 =-5 -2 2 5 -5 -2 2 5
415常微分方程 Ordinary Differential equation的数值解 matlab为解常微分方程初值问题提供了一组配套齐全结构严 整的指令,包括:ode45,ode23,ode113,ode23t,ode15s, ode23s,ode23tb在此只介绍最常用的ode45的基本使用方法 ode45使用方法 It,Y]}=ode45( odefun, tspan, y0)%4阶龙格一库塔数值法 odefun:待求解一阶微分方程组的函数文件句柄 tspan:自变量微分二元区间[tm4 yo:一阶微分方程组的(n*1)初值列向量 t-二元区间的点系列 Y-原函数在微分区间点系列上的函数值 2021/1/26 第19页
2021/1/26 第19页 4.1.5 常微分方程Ordinary Differential Equation的数值解 [t,Y]=ode45(odefun,tspan,y0) % 4阶龙格－库塔数值法 odefun: 待求解一阶微分方程组的函数文件句柄 tspan: 自变量微分二元区间[t0 , tf ] y0: 一阶微分方程组的(n*1)初值列向量 matlab为解常微分方程初值问题提供了一组配套齐全,结构严 整的指令, 包括: ode45, ode23, ode113, ode23t, ode15s, ode23s, ode23tb.在此只介绍最常用的ode45的基本使用方法. ode45使用方法: t---二元区间的点系列 Y---原函数在微分区间点系列上的函数值
例419求解:dx dx dx(o x +x=0 =0,x(0)=1 dt dx 解:令 d t d」据以上方程 2.5 (2)-y(1) %画相平面图函数和其导 数勾画的曲线称为‘相轨 迹) figure(2) 位移 plot(yy(, 1),yy(:, 2)) 2 xlabel(位移),abe速题
2021/1/26 第20页 例4.1-9求解： 2 2 2 (0) (1 ) 0, 0, (0) 1 d x dx dx x x x dt dt dt − − + = = = 1 2 1 2 2 2 1 2 1 (0) 1 , (1 ) (0) 0 dy dt y y dy y y y y dt = = − − %解算微分方程 tspan=[0,30]; y0=[1;0]; [tt,yy]=ode45(@DyDt,tspan,y0); figure(1) plot(tt,yy(:,1)) xlabel('t'),title('x(t)') dt dx 解:令 y1 = x, y2 = ，上式写成一阶微分方程组形式 %画相平面图(函数和其导 数勾画的曲线称为‘相轨 迹’) figure(2) plot(yy(:,1),yy(:,2)) xlabel('位移'),ylabel('速度') function ydot=DyDt(t,y) mu=2; ydot=[y(2);mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; 据以上方程组，编写M函数文件DyDt.m 0 5 10 15 20 25 30 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t x(t) -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 位 移 速 度