相应的解析函数为 z十it cosp t n 【解二】类似于(1.19)式,利用式,有 dp -卩 d a2 cos odo- sinop + C 现在取2=1,并取积分路径为:在射线P=0上由p=1到p,再在 以原点为中心以P为半径的圆周上由g=0到g(见图18),则有 OS pp d sinadφ+C (p,p) 1 (1-asop) COSp (ⅲ)【解】 u ax d O dy e '(siny- rsiny ycosy)dI +e '(roosy-cosy+ ysiny)dy e tiny cosy =e“( TsIng- cosy)+C 0这里不能取x=0.因为在点==0不解析其实由D=产平也可见x 和y不能同时为0 21
为求得解析数f(x)=t(x,y)iv(x,y),将r=b(z+z), y=2(x-x)代入4(x,y)+iv(x,y),得 f(z)=u(z+22-z 21 22 sin 2 2 +ie22+2 21521 e z sIn 21 十1zcos C 2i 12已 SI1 C 2 Ize +c= ige+c 说明)a)这种由u+iv求解析函数f(z)的方法虽然计算 较为繁复,但总是有效的 b)另一种由4+iv求f(z)的简便方法是:从形式上看, f(z)=f(r+ iy)=f(r+ iy)r, f(e)=uc, y)tiv(a, y)=uz,0)+iv(z, 0). 以本题为例,有 f(e)=e (zsin0-0)+C t ie (cos0+ size=+ C 类似地,还可以有 f(z)=u(p, o)+iv(p, u(z,0)+iv(z,0). 1.8指出下列多值函数的枝点及其类型,作它们的黎曼面, 并确定黎曼面的各个单值分支 (i}√(z+1)(z-2) √(z+1)(x-1)(z-2);
z+1)(z-1)(x-√3 v)ln(z-a)(a为复常数). (i)【解】根式的可能枝点是∞点和根式内多项式的零点, 现在来逐个考察这些点的性质 a)z=-1:在此点的邻域内任取一点x1-1+p1e"(p 1),则有 PI 3o1e"1/2 当g1变为q1+2π(即保持p不变而绕点x=-1一周)时,有 √(x+1)(z-2)≈√-3 3 91 pie ≠√-3 01e 当p;+2x变为g1+4x(即保持p1不变而再绕点x=-1一周) 时,有 √(x+1)(x-2)≈√-30 3o1e" 因此,x=-1是一阶枝点(代数枝点) b)z=2:同理,它是一阶枝点 在其邻域内任取点x2=p2e2(p2>1),则 (z+1)(x-2)=√(p2e"+1)(pe"2-2)≈p2e"2 当g2变为g2+2π(即保持p2不变而绕x=∞点一周)时,仍有 √(z+1)(z-2)≈o2e'2=p2e", 函数值不变,故z=∞不是枝点 以z=-1与z=2的连线为割线,黎曼而由两叶平面组成, 如图1.9(a)所示,其中第一叶割线上岸与第二叶割线的下岸相连 接,而第一叶割线的下岸则与第二叶割线的上岸相连接 在第一叶上,规定在割线的上岸(例如A点)为arg(z+1)= 0,arg(z-2)=π,这样就确定了函数的个单值分支函数的另 单值分支定义在第二叶上,在割线的上岸(例如A点),可以取 ①其实!需规定arg[(κ+1)(:-2)]即可,下面小题()也如此 23
arg(z+1)=2x. arg(2-2)=r (这相当于从A点出发按逆时 针方向绕z=-1-周到达A 点).或者取ag(z+1)-0 52 erg(z-2)=-(这相当于从 A点出发按顺时针方向绕x= 2周到达A点)这样,每 叶就确定函数的一个单值分 支.为明确起见,现在来看函数 (b) 值√(x+1)(x-2) b z=0取在第一叶的割线上岸,则 z+1)(z-2):0 °}-2|e=√2e=;2 当x=0取在第二叶割线上岸, 则 图1.9 √(x+1)(z-2),=√e2-2e=e=-i⑨, 或者 x+1)(x-2).。=√e-2e)=V2e量=-i 总共只有两个不同的值 (说明)a)如§1.1(四所指出的,割线的作法不是唯一的, 本小题的黎曼面也可以按图1.9(b)的方式去作.这时,如规定第 叶的左割线上岸(例如B点)为arg(z+1)=r,ag(z-2)=r, 则另一叶的左割线上岸(例如B点)为arg(z+1)=-丌,arg(z 2)=π(这相当于从B点出发按顺时针方向绕z=-1一周到达 B点)这样,z=0的两个函数值仍是 (x+1)(z-2):-=Ve0-2e"=√2e=+i √(z+1)(x-2)6=√e1-2e=2e=-i
b)不难将讨论推广到√(z-a)(z-b)(a,b为复常数) 这时,可以作如图1.9(c)所示的黎曼面设arg(b-a)=ao(0≤ a<2x),在第一叶的割线上岸(例如C点)可以规定arg(x-a)= g0,arg(z-b)=x-a,则在割线下岸(例如C点)有arg(z-a)= a+2r,arg(x-b)=丌…a,或者arg(z-a)=ao,arg(z-b) (i)【解】可能的枝点是z=-1,1,2和∞,作完全相同的 讨论,可以知道x=-1,1,2都是阶枝点〔代数枝点) 为考察x=∞的性质,在其邻域内任取·点 1),则 √(z+1)(z-1)(x-2)=√(pe+1)(pe°-1)(pe-2) 当g1变为g;+2x时,有 (z+1)(x-1)(x-2)≈p232e2=-01ea≠p3e 而当g1+2x变为g;+4x时,有 √(x+1(x-1(-2)≈:,4=?e 因此,z=∞0也是阶枝点 割线和黎曼面的一种作法 如图1.10所示(图中上下两叶 的连线AA,AA,BB和B'B 表示割线上下岸的连接方式), 可以规定在第叶上以z=-1 与z=1连线为割线的上岸取 图1.10 arg[(x+1)(x-1)(z+2)]= Q+r+=2x,则其下岸为arg[(z-1)(x+1)(x-2)]=4x或0 (其中4x来自由上岸的一点出发按逆时针方向绕z=-1一周 而0来自从同一点出发按顺时针方向绕x=1一周.为明确起见, 25