2 由此式出发,作类似[解一的计算,可得 (2-y2)x"2+c2y"2=1c2(c2-y 4 注意到c2>1b-a|2=y2,测上式可以改写为 这是半长轴和半短轴各为和√2-y2的椭圆它的两个焦点 在“轴上的坐标是=:√)(去=7)= b-al 【解二】由于z-a|表小点x到点a的距离,故该式表示复 平面上到两定点a和b的距离之和等于常数c的动点z之轨迹, 因而它是椭圆 1.5试证:在复平面z上,圆方程的般形式是 Az十a+a·x+D=0, 其中A、D为实常数,a为复常数,且A≠0,|a12>AD.用A、D、 a表示此圆的圆心和半径 【解】圆方程的一般形式为 A(x2+y2)+2{x+2yy+D=0 其中A、β、y、D都是实常数,HA≠0.利用x=x+iy, x=x-iy,即x=(x+x),y=(x-x)并记P+iy=a, 代入式后即得⑩9式改写式为 2 AAA 即 +8+v+ =g+y AD A 16
由此可见,它作为网的方程必须满足P2+y2-AD>0,即|a12> AD,而且它的圆心在点(2,即A5-A,半径为 A √P2+y2-AD I A √a2-AD (说明)如果A-0,则圆退化为直线(设a≠0).如果D=0, 则圆(或直线)通过原点. 1.6导出极坐标下的科希一黎曼条件 u 1 d I解一】在极坐标下,z=pe",f(z)=u(p,g) +1y 由导数定义,有 f'(z) t(p+△p,g+△g)+iv(p+△p,g+△g)-a(g,g)-iv(o,g) n 如果固定g(图1.7),△z沿径向趋于零,此时△z=△pe",得 f(e) =lima(e+△o,g)+iv(e+△e,)-a(,y)-j7(p,g) △:" m[e2:≌D(2+:214222] au,av e 如果固定p,而△z沿半径为P的圆周趋于零,注意到 ≈ip△ P 有 f'( lir a(p,9+△q)+iv(p,g+△q)-a(p,9)-iv(p,) 1p △pe
和P,￠+Δg)-v(o,g) △φ (p,g+△q)-(p,g)11 △ φ f(z)存在则②与哟式必须相y 复平面z 等.即 1(3u_:3 由此即得②式 【解二】由直角坐标系下的 科希-黎曼条件(1.17)式出发, 作变量代换 图1.7 p cosP 或 y≡ps1ng arc y 由上式可得 P de 乎 sin sth p COSo x 由求导法则得 au-au apdu ag x cOs sinp auau aag=sin中apP autos a p a+型=cosq3 o ne v dv 1 a0xaφa d=a+空=sinq ? y aa 2v d a U++cos a p 将@式代入(1.17)式,得到 18
)u i +13 cos, pap r) /-sqap。 1 sin p Cos a让\=0 乎 由此即得 av 1 d pp dy p dp (说明)a)科希-黎曼条件的更为普遍的形式见练习题1.5 b)代替变量x和y,现以z=x+iy,z*=x-iy作为独立变 量,则复变函数一般地可以写成 y)+iv(a, y)=u(z,z) 1U(2, 2 )=f( 利用x=(x+z),y=0;(z-z),有 altay af a 1{)ax: )2(3y+12 刁td d)taya 由此可见, fc 与科希-黎曼条件(1.17)式是等价的四式表示,如果复变函数f 不显含z*,则它是解析函数,例如e,sinz等不显含z*,所以是解 析函数,而x12=xx*,Rez=1(x+x*)等显含x,故不是解析 函数因此,用式来判断一个复变函数f的解析性要比利用 (1.17)式更为方便 1.7已知解析函数的实部u(虚部v),求其虚部v(实部 a),并求此解析函数: (9)u=e r; (i)v=-x 2+12: 1)v=e"(rosy+ ysiny 19
(i)【解—】利用(1.17)式,有 2v d d dx dr n.dy= d(e sinx) ˇ sinn t 其中ε为任意实常数.所求解析函数为 e"cosr+」 e SInA 【解二】利用(1.18)式,取x。=0,并取积分路径为两直线段 (0,0)(x,0)→*(x,y).注意到在第一线段上有y≡0,在第二线 段上x不变,则有 (e cosrdx-e sindy)+C x,0) (,y, cos.rdx e >sin.rdy+ C (r,o? cos. dx sin. dy+( 0 0 e"sInr 说明)[解-]比较简捷,但当全微分d的表达式较为复杂 时由du直接求出u并不容易.但利用[解二]原则上总能求出υ 来.这时,由于积分路径可以任意选取(两端点固定),为简化计算, 在直角坐标系下往往取平行于坐标轴的直线段;在极坐标下积分 线段往往取在从原点发出的射线上和以原点为中心的圆周上(参 见下面小题()[解二]) ()【解一】上一小题的两种解法现在仍有效,但我们不妨 改取极坐标这时υ=-1sinp,利用四式,有 au d d d 1 a d do d In s