下面取前者) 现在来计算函数值√(x+1)(x-1)(z-2)-a.当z=0取 在第一叶的割线上岸,注意到ag[(x+1)(x-1)(x-2)]l=-0= 2π,有 √(x-1)(z-1)(x-2)=√1·-1|2e“=V2e"=-2; 当z=0取在第二叶割线上岸(即第一叶割线下岸),注意到 arg[(x+1)(z-1)(x-2)]=4π,有 √(x+1)(x+1)(z-2)=√1·|-1·1-2e=√2e=√2 总共只有两个不同的值 (ⅲ)【解】考察点x=-1的性质,为此,在其邻域内任取 点 1+p1en(p:<1),有 z+1)(z-1)(z-√3) pIe(pie e"-2)( PI ≈y2(3+1)pe 当P:变为g1+2x时,有 ∨(x+1)(x-1)(x-43)≈∨2(3+1)pe2 P 当g+2x变为g;+4r时,有 √(x+1)(z-1)(x-3 ≈+1pe…m ≠√2(3+1)pe或2(3+1)e2 而当g1+4x变为g1+6时,有 (x+1)(x-1)(z-3)≈2(3+1)pe 2(3+1)pe 可见z=-1是二阶枝点.同理可证,z=1和z=√3也是二阶枝 26
点,它们都是代数枝点,但x=∞不是枝点 图1.11 割线和黎曼面的一种作法如图1.11所示,黎曼面由三叶平面 组成.如在第一叶的右割线上岸规定arg(z+1)=0,arg(z-1)= 0,arg(z-3)=0,则在第二叶的右割线上岸(即第一叶右割线的 下岸)有arg(z+1)=0,arg(z-1)=0,arg(z-3)=2x,而在第 三叶的右割线上岸(即第二叶右割线下岸)有arg(z+1)=0 arg(z-1)=0,arg(z-√3)=4x这样就规定了函数的三个单值分 支 现以∨(z+1)(x-1)(x-43)为例在第一叶上,有 W(a z+1)(z-1)(z-√3) √|i+1|e21-1|e;-5|c(暂) yael Vei 在第二叶上,有 (x+1)(x-1)(x-3)|:- √+1ll;-1e#|;-3|e(2,) 在第三叶上,有 v(x+1)(x-1)(x-8)1 1i+1|eli-1e:;-3e(零
4e=e曹=4e 总共有三个不同的值 (ⅳ)【解】对数函数 的可能枝点是∞点和函数宗 量的岺点,即z=a.现分别 考察 和x=∞的性质 a)z=a;在其邻域内任 取一点 ),则 In(z-a)=In(oe*1)=Inp tip 当p1变为g1+2x时,ln(z a)=lp1+i(q1+r)≠la+ 图1.12 i91-般地,当g1+2nπ变为g+2(n+1)π(n=0,1,2,…) Bf,In(z-a)=Inpl +i[ P1+2(n+1t]*Inpi i(1+ 2kx) k=0,1,2,…,n) 可见z=a是超越枝点 b)z=∞:在其邻域内任取一点z2=P2e(P2>1),有 In(z-a)=ln input ic 由完全类似的讨论可以知道,z=∞也是超越枝点 割线为由a到∞的直线,黎曼面由无限多叶平面组成,如图 1.12所示,它有无限多个单值分支 (说明)对于z=∞,也可以先作自变量代换22过 样,x=∞就相当于{=0,而且hn(x-a)=-ln{由于5=0是 n{的超越枝点[见a)的讨论],所以z=∞是ln(z-a)的超越枝 点应当指出,当F2=m2en(p2>1)时,有了=52≈1e- 1s1,所以当x按迎时针方向绕x-a-周时,相当于按顺 28
时针方向绕=0-周,两者的方向相反 1.9用解析函数的唯一性证明 (i: sin2 x =2sinz cosz;(inchz-sh<=1; (ir(z)r(1-x)= (x≠整数) Sin 2 (ⅰ)证:显然,sin2z和2 sinN cos2都是全平面(不包括∞ 点,下同)上的解析函数,在实轴上有 sin2之 2sinz cose 2sinrcosx 此外,我们已知 sin2 x=2sinr cos.r 可见,sin2z与2 sancos是同一解析函数,因此有 sin2z =2sinzcosz ()证:显然,ch2z-sh2z与1都是全平面上的解析函数 由于在实轴上有 sh 可见ch2z-sh2z与1是同一解析函数,因而 h22-sh2z=1 (说明)利用解析函数的唯一性,许多实变量三角公式都可 以方便地推广到复变量的情况,除前面已证明的之外,还有 sin2z+cosz=1,cos2z=cos2z-sin2z等等 (ⅲ)证:证明分两步进行 a)先证明,在实轴上的一段0<x<1,有等式 r(x)r(1-x)=-. 事实上,由实变量的r函数的定义,有 (x)F( t121 dtds
作积分变量代换=t+s,n 即t 变换 的雅可比行列式为 a(a 代入积分式中,得 r(x)r(1-x) 0,0 fn jeD d sn工 最后一步用了留数定理计算定积分的方法[详细计算参见》4.1(八) b)由于当x≠整数时r(x)r(1-z)和 都是全平面上的 sin元z 解析函数,而且这两个函数在实轴上的一段0<x<l上是相等的, 由解析函数的唯一性知 I(x)r(1-x)=(x≠整数) sIng 1.10解析函数w=√z(-m<ag<π)作为平面静电场的 复势,它表示什么样的平面静电场? 【解】由例题1.1知 (y>0) 2 τ=√x+iy= 士 (y<0). 如将w的实部作为电势,则等势线族为 C', 或 30