z;+z2|2=(z1+z2)(z1+z2) z⊥zz1z2z2 注意到x1z2与x122互为共轭复数,所以有 z1x2*+x1z2=2Re(z1z2) 另外,对于任一复数z=x+iy,总有x≤√x2+y,即Rez≤|zl|, 于是 1z1+z212=1z112+2Re(z1z2)+|z2 ≤|2112+2|2z2|+1z2 1z;12+21z1||x2|+|z2 开方后得 】 +|之 复平面x 复平面 O 图].2 在图12(a)上以向量AB和BC分别表示z1和z,则向量AC表示 1+z2由三角形ABC可见③式表示三角形的两边之和不小于第二边 (说明)不难将①式推广为 ⅱ)【解】由于 之2 I42 2122+z
2Re(2122)+ 开方后即得 在图12(b)上以向量AB和AC分别表示z1和z,则向量BC表 示z2-z1由△ABC可见,上式表小三角形的两边之差不大于第三边 4下列各式在z复平亩上表示什么区域? (i) Rez2>0: (i) Rez +|z I () 0<arg.+i4 (v)!z-a|+|x-b=c(a和b为复常数,c为实常数且满c>|b-a1) (j)【解】由于Rez2=Re(r+iy)2=x2 y >0, <0 ),则由(x-y)(x+y)>0得到 y x+y<0 x+y>0.由于x-y>0表示以直线x=y=0为边界 线的平面之右下部分,同时x+y>0表示以直线x+y=0为边 界线的平面之右上部分.所以 y 是两者的共同区域,如图 y>0 13中阴影区域工所示同理,{xy50·表示阴影区坡Ⅱ,区域 +y<0 I和Ⅱ都不包括边界线x±y=0 复平面z 0 图1.3
(ⅱ)【解】原式即+√x2+y2≤1,也即√x2+y2≤1 x.平方之,得到y2≤1-2x.∵y2-1-2x是如图1.4所示的抛 物线,而原点z=0是满足不等式y2<1-2x(即z=0应在所考 虑的区域之内),Rez+!x|≤1是抛物线及其内部区域(如图 1.4所示的阴影区域 ⅲ)【解】原式即 1)][x-i(y+1) arg i(y+1) arg 2 y g 为满足④式,首先必须 2x>0 此即 <0 其次,为使⑩式的第二个不等式得刭满足,又必须 即 (x+1)2+y2>(2).⑩ 复平面2 注意到,在x<0的情况下,由⑩ 式有x2+y2>1-2x>1,这表 明⑩式的第一式已得满足.所 以,综合和⑩式,得到 <0 (x+1)2+y2>(√2) 这是左半平面(不包括虚轴)去 掉圆域(x+1)2+y2≤(2)2后 剩下的区域(如图1.5阴影区域 图14 13
复平面 图1.5 所示) (ⅳ)【解一】设a=q1+识,b=a2+iB2(a1,a2,B,B2均 为实数),则原式化为 -B)2+√(x-a2)2+(y-2)2 两边平方,得 (y-1)2-(x-a2)2-(y-2 2√(x-a1)2+(y“A1)2[(x-a2)2+(y-B2 再两边平方,整理后得 4[(a 2]x2+8(a1a2)(R1-B2 +4(B1-B2)2-c2]y2+4a1(|b|2-|a|2+c2) 2(|a|2-|b|2+c2)]x+4[B1(|b|2 +R2(|a|2-|b|2+c2)]y+(|a|2-1b|2)2 2c2(a|2+|b2)+c4=0 记A≡(a1-a2)2-c2,B=(a1-a2)(1-B2),C=(A1-P2)2 由c>|b-a」知 >(a1-a2)2+(A1-B2) 因此,二次方程①的判别式 B2-AC=-c2[c2-(a1-a2)2-(B1-B2)2]<0 所以,①式表示一个椭圆
(说明)如先将坐标原点移至z=a与z=b的连线的中点 x=“2(记此点为O),并以Ob为新的实轴,由此构成复平面 z(如图1.6所示).即引入 y复平面 复平面z 图1.6 、a+b 2-a+b 或 a+ b 2 则原式成为 2 C 将 g B2-Ai sina= P2-B2 (a2-a1)2+(B2-B1) cos 6 2a1 (a2-a1)2+(2-A1)2 以及 b 2 十 代入⑩式,得到 + tx +iv 其中y=√(a2-a1)+(B2-B1)2,上式也就是