解析函数的唯一性 六)解析函数的物理解释 解析函数f(x)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是维 调和函数,即在实平面的相应区域上满足方程 20 2 0 而且 V·,=0 (1.21) 我们称u与v是一对共轭调和函数.由(1.21)式可见,两等值浅 族u(x,y)=C与v(x,y)=C2(C1、C2是实常数)是处处相互 正交的 如果将u(或v)看作某平面静电场的电势,则a=(1(或v C2)是等势线方程,而v=C2(或u=C1)是电场线方程,而解析函 数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)则称为该平面静电场的复势这是 解析凼数的一种物理解释(即静电学解释) (附录)函数 r函数I(z)定义为 当Rez>0时,I(z)= e 't= 1 t r*〔s1)lng (规定ht取实数值③); 1.22) 当-(n+1)<Re≤-n时,r(x)=r(,+n+1 (a+n r: n 1,2,…) ①注意,实部和虚部椰是调和函数的复变函数不一定就是解析函数,例如f(:) x-iy,也就是说,下是任何一对调和函数都能构成共轭调和函数的 ②由(1.13)式知,当t取正实数时,一般地说应当有nt=ln|tl+2ni( 0,±1,±2,…,即有一虚部2n丌
它不足初等函数,这类的数我们丝称为特殊数除点x=0、-1,2, 外,r(x)在全平面(不包括∞点)!是解析的 I函数有二个丐要性质 f1}(z+1)-c1(:) (1.23) )r(x)I(1-z) (z≠整数) (1.24) mr(2x)=2r(x)(c+1 0, 3 (1.25) 特别,有 F?(n·1) (126) 性质(}由定义直接可得,性质和ⅷ的证明分别见例题1.9(和练习 题1 §1.2例题 1.1求√a+ib(a和b为实常数)的代数式和指数式 【解一】设√a+i=xiy,要求x和y.为此,平方之,得 由①式的平方与②式的平方之和可得 由于x2+y2≥0,所以此式石端根式前只能取正号由①和②式解 得 tb-a 2 由②式知,当b>0时x与y同号;当b<0时x与y异号.于是有 ①其他特殊函数将在以后陆续介绀
当b>0; a+ih b2+ b 当b<0. 例如,3+4i=±(2+i),而③3-4i±(2-i) 【解二】先将a+i写为指数式,以便于作开方运算.有 b=√a2+b2e (=0,±1,±2,…) 其中po=arcg满足0≤g<2r,且 sin po b ,就是说φ取在哪个象限由a和b的正负号所确定 (k=0,1), √a+==V+be2+b(+m2) 现在计算cos2和ainP,注意,由于0≤q<2x,不管g取在哪 个象限,总有sn2≥0,然而∞52可正可负当在第一、象 限(即b>0)时,在第一象限,所以2>0;当q在第三、四 象限(即b<0)时,在第二象限,所以cos<0.据此,有 s sIn 十 cOS 1+ b>0: ♀0 2 b 1+cos= 2 √a2+b2},b<0 将这些式子代入⑤式,得到
/a2+b2+ b 2 2 a"+h+ a 6- b<0 2 12求下列各式(a和b为实数)的代数式:t)cos(a+诂); (i)sh(a-ib):(il)ia (i)【解一】利用定义式(1.11)和(1.12),有 cos(a +ib) leu+b)+e"a+b)1 2le-(cosa+ i sina)+ e(cosa -i sina) cOsa sina cosachb-i sina sh6 【解二】可以证明,三角函数的和角公式 cos( z,+ 22)=cosi cOSz2-sinzsinz2 在复数的情况下仍然成立(证明见下)利用此式,有 cos(u+ib)=cosa cos(ib)-sina sin(ib) i〔b) COS\k D=chb, b)=( )=i shb, ..cos(u +ib)=cosu chb -i sina shb (说明)现在证明,当z1和z2是复数时,仍有 sin(z1±z2)= Sin zI CoS22±cosz1sinz2, 为此,利用(1.11)式,上式右端可以写成 Sin%1 COS 22± COS 21 SIn22=;[(e“-e")(ez+e2) ±(e"1+ei)(e2-e"2)]
=sin(x1±z:) 由此证明了⑥式.类似可以证明: cos( 1 t 22)=c0s21 coS%2 sin, sinz sh(zr d x2)=shzichz2 t chzishzz ch(z1 =2)=chzichz2 t sh=1shz2; sin(iz)=i shx CoS\1z chz 利用上述公式常常使复变函数的运算过程简化 〔)【解】由⑧式,可得 sh(a -i6)=shach(ib)-cha sh(ib) 利用⑨式,得 ch(ib)=cos(i·i)-cb, sh(ib)=-i sin iib)=i sinb 代入⑩式即得 sh(a -ib)=sha cosb-i sinb cha (ⅲ)【解】利用定义式(1.14),有 143 ∵∴Inj=lnli|+ 2+27x 十2n兀 (n=0,±1,±2,…), Z零)+na 十2#霄 =- (1-2mx)icos a(T +2nx]+i sin[a r+2nm (n=0,±1,±2 般来说,它具有无限多个值 1.3证明下列不等式,并作几何解释 (1)1z1+x2|≤!z1+|z2|;i)1z1-22|≥(|x:i-|z24 ⅰ)【解】由于 10