第一章复变函数和解析函数 本章介绍复变函数的基本概念和解析函数的定义、充要条件 及其吻理解释 §1.1内容提要 (一)复数及其运算 没x和y是两个实数,引入i=√-1(即评=-1),称 为一个复数x和y分别称为 z的实部和虚部(分别记为Rexy轴 和Imz).x-iy称为复数(1.1) 的共轭复数,记为z或乏(本书 复平面z 采用前者).个复数z可用复 平面①上个点P或一个向量 OP表示(见图1.1),只要向量的 长度和指向都一样,则这些向量 都表示同一个复数.由图1.1可 图1,1 见,(1.1)式也可以写成 P cosφ ti sin (1.2) 其中g=φo+2nx(0≤9<2π),n为任意整数,这时p和g分别 称为z的模和幅角(分别记为z|和argx).(1.2)式还可以写成 ①复平面与实平上声角坐标系的区别在于:后者两坐标轴的单位分别为和 j满足i=j=1,i=0,而前者两坐标轴的单位分别为H和,满足=-1
其中s乡n!(ig)”,而0!=1.(1.1)、(1.2)和(1.3)式分别称 为复数z的代数式、三角式和指数式 两复数相等的充要条件是其实部和虚部分别相等.两复数的 加减法是 )±( i(y1±y2) 1.4) 两复数的乘除法是 2 =(x1x2-yy2)+i(xy2+x2y1),(15) z1_ TI+iy_(x1+ini)(r2-iy2) 22I2 +1y2 x122y+;2222(设x2+iy2≠0).(1.6) 十 用指数式(13)来做乘除法更为方便: p =2C-Pe9,n)(设p2≠0).(1.8) 复平面上的无穷远点(z=∞)只有一点,即当p→∞时 =pe的极限点(不论φ取何值) (二)复变函数和初等函数 任何一个以z=x+iy为自变量的复变函数w=f(z)总可以写 成 (1.9 其中u(x,y)和v(x,y)是x和y的实函数 基本初等函数有: 指数函数 e(cosy t i siny 1.10) 角函数
SIna + (1.11) stn之 g 等等以及它们的反函数 双曲函数 sha (1.12) sh th 等等以及它们的反函数 对数函数 pt ip 幂函数 z°=e(a为复常数), 特别当a=1(n=2,3,4,…)时有 1 P4+2x Nee (k=0 (1.15) 它有n个不同的值 lnz、z“(当a不是整数时)以及反三角函数和反双曲函数都是 多值函数 由(1.9)式可见,复变函数的极限和连续性问题等价于…对 元实函数u(x,y)和v(x,y)的极限和连续性问题 例如 lim f(z)=lim u(r, y)+i lim v(x, y)
其中z0=,C+iyo (三)复变函数的导数解析函数 单值函数f()在z0点的导数定义为 f '(za)=lit f(x0+△z)-f(z) (1.16) 其中△z=x-2注意,复变函数f(z)在一点z6可导的要求要比 实函数f(x)在实轴上一点x。可导的要求高得多!不可导的点称 为f(x)的奇点 如果f(z)在点z的某邻域内处处可导,则称f(x)在点z0 解析.对于区域上的连续函数∫(z)=u(x,y)+iv(x,y),f(z) 为解析函数的充要条件是满足科希一黎曼条件 (1.17) 、x 对于解析函数f(x)=a(x,y)+iv(x,y),已知其实部(或虚 部)可以求出其虚部(或实部): J(u> (-2y4x+gdy)+c18) [r,yJ dyl+ c (1.19) xu·yit (ay 其中C为任意实常数,z0=x0+iy6是区域内的某一定点,积分路 径可以在区域内任意选取 (四)多值函数和黎曼面 对于多值函数v=f(z),在其定义域内总存在这样的点z= za在它的邻域内,当点z=z0+pe(p≤1)关于点z的幅角由g 变为+2r(即绕z0一周)时,有 f(za tpe' 则称x6为该函数的枝点如果幅角再由φ+2π变为φ+4x时有 f( '43)=f(
则称枝点z0为一阶枝点;如果仍有 )≠f( 但是有 ∫(z+pes6)=f(x+pe), 则称枝点z。为阶枝点;…;如果存在某白然数n(n≥2)使 f(z)+pe“2mn)≠f(so+pc)(m=1,2,…,n-1) 但是有 之0 则称枝点z为n-1阶枝点.阶数为有限的枝点统称为代数枝点, 否则称为超越枝点 对于多值函数的n-1阶枝点z,为了形象地表明其邻点x 关于z的幅角g的变化范围是0<g<2x,2π<φ<4π,…, 2(n-2)x<g<2(n-1)π,或是2(n-1)x<p<2nπ,设想x平 面由n叶平面组成的,这n叶的z。点重合且都从此点出发沿平 行于正实轴的方向剪开,其中上叶的剪开线的下岸与下-叶剪 开线的上岸连接在一起.而最下一叶剪开线的下则与最上一叶 的剪开线的上:岸连接在…起.这种由n叶复平面组成的面称为该 函数的黎曼面,而剪开的线称为该复平面的割线.割线总是从枝点 发出,但是取什么样的路线有一定的任意性对应于原复平面上的 任意·点(枝点除外)、在黎曼面的各叶上其函数值是互不相同的, 因此,函数具有n个单值分支.如果将多值函数的定义域扩大到 该函数的黎曼面,则在黎曼面上该函数成为单值函数,因而同样可 以定义导数和讨论解析性(但枝点总是奇点) 五)解析延拓 复变函数的解析区域的扩大过程称为解析延拓.一个解析函 数由其在定义域内一个小区域或小线段上的值唯一确定,这称为 ①这些有关枝点的定义对丁无穷远点也同样适用,这里不再洋述 ②为了叙述上的方便,这互设x是该函数的唯·-的有限远枝点