反变换关系为 r=T(S) (4.1-11) T1(s)对s同样满足上述两个条件 由概率论理论可知,如果已知随机变量r的概率密度为 p(r),而随机变量s是r的函数,则s的概率密度p(s)可以由 p(r)求出 假定随机变量s的分布函数用F。(s)表示,根据分布函数 定义 F(s)=p,(sk=p,(r)h(4.1-12)
反变换关系为 （4.1-11） T -1(s)对s同样满足上述两个条件。 由概率论理论可知，如果已知随机变量r的概率密度为 pr (r),而随机变量s是r的函数，则s的概率密度ps(s)可以由 pr (r)求出。 假定随机变量s的分布函数用Fs(s)表示，根据分布函数 定义 ( ) 1 r T s − = = = − − − r r s S s F (s) p (s)ds p (r)dr (4.1 12)
利用密度函数是分布函数的导数的关系,等式两边对s 求导,有: dr Pr(r)dr ds P7(s) (4.1-13) 可见,输出图像的概率密度函数可以通过变换函数 T(r)控制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图 像的灰度层次,这就是直方图修改技术的基础。 从人眼视觉特性来考虑,一幅图像的直方图如果是均 匀分布的,即Ps(s)=k(归一化时k=1)时,该图像色调给人的 感觉比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分 布的直方图,这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。 因为归一化假定 P(s)=1 (4.1-14 由(4.1-13)则有 as -p, (r)dr
利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s 求导，有： （4.1-13） 可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换函数 T(r)控制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图 像的灰度层次,这就是直方图修改技术的基础。 从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均 匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的 感觉比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分 布的直方图，这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。 因为归一化假定 由（4.1-13）则有 P (s) =1 (4.1−14) s ds p r dr r = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 T s ds d p ds dr p r dr p ds d P s r r r s r − − = = =
两边积分得 5=r()=p()b (4.1-15 上式表明,当变换函数为r的累积直方图函数时,能达 到直方图均衡化的目的 对于离散的数字图像,用频率来代替概率,则变换函数 7(r1)的离散形式可表示为: k=T()=∑p()=∑ 上式表明,均衡后各像素的灰度值s可直接由原图像的 直方图算出
两边积分得 上式表明，当变换函数为r的累积直方图函数时，能达 到直方图均衡化的目的。 对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函数 T(rk )的离散形式可表示为: 上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图像的 直方图算出。 ( ) ( ) (4.1 15) 0 = = − r r s T r p r dr = = = = = k j j k j k k r j n n s T r p r 0 0 ( ) ( )
幅图像的S与r之间的关系称为该图像的累积灰 度直方图 1.0 1.0 1.0 下面举例说明直方图均衡过程
一幅图像的sk与rk之间的关系称为该图像的累积灰 度直方图。 rk Pr (rk ) rk S(rk ) 1.0 1.0 1.0 下面举例说明直方图均衡过程
例假定有一幅总像素为n=64×64的图像,灰度级数为8,各灰 度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下: nk p(rk=nk/n Sk计sk并 PK(s) =0790 0.19 0.191/7 =1/77900.19 1/71023 0.25 0443/7s1=377102302 =2/7850 0.21 0.65 5/7s2=5/78500,21 r23/7656 0.16 0816/7 4/7329 0.08 0.896/7s3=6/79850.24 rs=5/7 245 0.06 0.95 r=6/7122 0.03 0.98 0.02 1.00 4480.11 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分别为:0、1 3、4、5、6、7,则均衡后,他们的灰度值为多少?
r k nk pr (rk )=nk /n sk计 sk并 sk nsk pk (s) r 0=0 790 0.19 0.19 1/7 s0=1/7 790 0.19 r 1=1/7 1023 0.25 0.44 3/7 s1=3/7 1023 0.25 r 2=2/7 850 0.21 0.65 5/7 s2=5/7 850 0.21 r 3=3/7 656 0.16 0.81 6/7 r 4=4/7 329 0.08 0.89 6/7 s3=6/7 985 0.24 r 5=5/7 245 0.06 0.95 1 r 6=6/7 122 0.03 0.98 1 r 7=1 81 0.02 1.00 1 s4=1 448 0.11 例 假定有一幅总像素为n=64×64的图像，灰度级数为8，各灰 度级分布列于表中。对其均衡化计算过程如下： ？ 若在原图像一行上连续8个像素的灰度值分别为：0、1、 2、3、4、5、6、7，则均衡后，他们的灰度值为多少？