的特例。我们在这里强调,它成立的条件是欧几里德几何学 中的勾股弦定理,因而只在欧氏空间中才成立。可以用式 (1-4-2)作为欧氏空间的定义 定义矢量点积的公式具有式(1-4-2)形式的空间称为 欧氏空间 下面给出三维欧氏空间中张量的定义。 二、张量的定义 1。一阶张量 前面已经指出,一阶张量的最简单例子是矢量。现在我 们要为它下一个精确的定义。 把矢量称为一阶张量是强调它在坐标变换时的变换性 质。考虑一个矢量x,它在某一坐标系e,(i=1,2,3)中的分 量是x,(i=1,2,3)。当坐标变换时,第分量也要发生变 换,如式(1-3-13)、(1-3-15)。但是,矢量x是一个客观存 在的与坐标系的选择无关的对象。我们所关心的是矢量x 身所具有的与坐标系的选择无关的性质然而,在定量地研 究这些性质时,又必须利用x在一定的坐标系中的分量x。 这是一个矛盾,而“张量”的概念正是从这一矛盾中引出 的。 正如绪论中所指出,为了解决上述矛盾,在某一坐标系 中给出一阶张量的分量x的同时,还规定它在坐标变换时的 变换规律。这样一来,就等于知道了它在任意坐标系中的分 量,从而得到了一个与坐标系的选择无关的客观物理量。 遵循这一思路,我们将前面得到过的变换规律式(1-3 13)、(1-3-15),提升作为定义来定义一阶张量 定义在坐标系e,(i=1,2,3)中给定三个数x(i=1,2 ·20·
3)3如果当坐标变换 ∑A (1-4-3) 时,它按 (1-4-4) 变,则称它为一阶张量;如果它按 ∑A,,x 当坐标转动 (1-4-5) ∑A,’,x,当坐标反演 变,则称它为一阶赝张量 显然,矢量的三个分量构一阶张量。但不要以为一阶 张量只能由矢量的分量构成。例如,设有一个不经过原点的 平面,它的方程可以写成 a1x;+a2x2+a3x3=1 (1-4-6) 不难证明,当坐标变换为式(1-4-3)时,三个分量a,(i=1 2,3)也按规律(1-4-4)变换。因此,它们也构成一阶张量 2.二阶张量 作为二阶张量的例子,考虑在§1-1中讨论过的各向异性 介质中的电极化率a,a,在两个一阶张量E和P,之间建 立线性联系,如(1-1-4)式: P,=∑a,E;(i=1,2,3).(1-4-7)
在坐标变换(1-4-3)时,E变成E,,P变成P,',相应地 a4;也变成a4',使(1-4-7)不变 P,′=∑a,E;(i=1,2,3),(1-4-8) 将一阶张量E和P的变换规律 E;′=∑A’E;,P,=∑A,,P 代入上式,得到 ∑A,,P:=∑ AE 将式(1-4-7)代入,并改写右边的哑标j为′,得到 A,,a,;E;=∑∑ A,/E 这一等式对任意E都成立,因而有 ∑A ∑ A 用A;;乘左、右两边,对j作和,将式(1-3-22)代入,然后 用符号的性质求出对l的作和,得到 a,;′=∑∑A,,A;;a; (1-4-9) 这就是二阶张量a;在坐标变换时的变换规律。与式(1-4-3) 比较可见,a,的两个下标分别独立地按照和坐标单位矢量的 变换规律相同的规律进行变换,这可以作为二阶张量的定 义 22·
定义在任一坐标系中给出具有两个下标的九个数,当 坐标变换时,这两个下标分别独立地按照和坐标单位天量的 变换规律相同的规律进行变换,则这九个数构成一个二阶张 量 这一定义中谈到的是二阶“真”张量.如果所给的九个 数在坐标反演时,除了两个下标分别独立地按照和坐标单位 矢量的变换规律相同的规律变换之外,还要改号,则得到的 是二阶赝张量 从以上对于一阶和二阶张量的定义可以看出,在张量的 定义中包含两个要点:第一,在某一坐标系中给出一组数;第 二,给出这一组数在坐标变换时的变换规律。由于有了第二 点,所以尽管张量分量的具体数值是在某一特定的坐标系中 给出的,实际上也就知道了它在任意坐标系中的分量数值。 而这样一来,就有了可能深入研究张量所具有的与坐标系无 关的性质。以下,在介绍了高阶张量的一般定义以后,将要 进一步说明如何利用张量计算来研究量所具有的与坐标系 无关的不变性质。 现在再来看两个二阶张量的例子。 【例1】当弹性物体发生形变时,在它内部的各部分之 间会出现相互作用力,称为应力。考虑这样一个物体内部的 个小元面积,如图1-8 设其大小为da,法线方向单位矢量为n,则da=翼da, 是代表这一元面积的矢量。位于这一元面积左边部分的物体 (在图1-8中用I表示)对位于它右边部分的物体(图中用 I表示)作用一个力f。一般说来,方向和da的方向不 同(它包含平行于da的压应力和垂直于da的切应力两部
分),但当da很小时,力和面积元dc有线性关系。改变 da的大小和方向,力f大小和方向也随之改变,因而可以 写 ∫=F(da r)其中F(ca)表示以da为自变量 去 的一个线性矢量函数。将∫和d 用某一坐标系中的分量表示 图-3冬向异性介质中的应力 f:f1,f2,f33 da. da,dada 则上述函数关系可以写成 ∫1=σ1da1+σ12da2+σ1da3 ∫2=σ2tda1+σa2dla2+ rada3 a,+ σ,da,+σ,da 或缩写成 d (1-4-10) 容易证明,这一式子中的,是一个二阶张量(称为应力张 量)。重复由式(1-4-7)到式(1-4-9)的推导,就可以证明这 论断。 【例2】证明按式(1-2-2)定义的二阶对称符号 (1-4-11) 是一个二阶张量 证假定在某一坐标系中按式(1-4-11)给出了8。我 扪所要证明的是,如果在坐标变换时让它按二阶张量的机 律变,则在新坐标系中,它的分量仍然取式(1-4-11所规定 24