(×b反演前坐标系,a×b和區,b有左手螺旋关系,如 图1-5。因此,a×b在坐标反演时改变方 向 这秤在坐标反演时要改变方向的矢量 (a×b)反演后 叫做赝矢量(注)。除了两个真矢量的叉乘 图1-5ax如在反演是赝矢量以外,角速度矢量、角动量矢量 后改变方向都是腰矢量的例子 由于坐标转动不改变坐标系的类型,所以如果只考虑坐 标转动,腰矢量和真矢量没有区别 如果a和b是两个真矢量,则它们的点积是一个在转动和 反演下都不变的数。这样的数称为标量。 如果一个真矢量和一个赝矢量点乘,则所得到的数只在 转动下不变,而在反演时要改号。这样的数称为赝标量。例 如,三个真矢量a,b,c的混合连乘积a·(b×e)就是一个赝标量 (因为a是真矢量,而b×是赝矢量) 三、矢量分量的变换规律 一个矢量(真矢量)a用坐标基矢e展开为 (1-3-10) 在坐标变换(包括转动和反演)时,基矢e发生变化(1-3 4),而作为一种客观物理对象的a应保持不变,因此分 量a,必须相应地变化 写出俱用新坐标基矢e,的展开式 (1-3-11) 〔注)展矢量又称为轴矢量,相应地称真矢量为极矢量 15
它和(1-3-10)应该相等,故有 (1-3-12) 将等式左边的哑标改写为l′,并用e,点乘左、右两边,再 利用式(1-2-3)和式(1-3-5),得到 a,=∑A,,a4(i′=1,2,3) (1-3-13) 和式(1-3-4)比较可见,矢量的分量和坐标基矢有相同的变 换规律。 如果a是赝矢量,情况就有所不同。在坐标反演时,赝 矢量要改变方向(参看图1-5)。因此,式(1-3-12)应改写为 ae,当坐标转动, c:e:= (1-3-14) ∑a,e,当坐标反演。 而式(1-3-13)应相应地写成 当坐标转动, (1-3-15) 当坐标反演。 这说明,赝矢量的分量在坐标转动时和坐标基矢一样地变 换,而在坐标反演时和坐标基矢的变换相差一个符号。 四、正交变换 以上所讨论的几种坐标变换(转动、反演和镜面反射)
都保持矢量点积的公式(1-2-16)不变: b a, 6 a,,6.r (1-3-16) 这样的变换称为正交变换。下面讨论正交变换的条件。 将式(1-3-13)代入式(1-3-16),得到 a,b,=∑∑ A;';A,:a改b 为使此式对于任意的矢量a、b都成立,需要 ∑A,,A,':=8, 式(1-3-17)是正交变换所应满足的一个条件。利用它可 以得到式(1-3-13)的逆变换式。如将式(1-3-13)右边的哑 标改写为j,然后用A,;乘等式两边,并对订作和,可以 得到 ∑A,;a,′=∑∑A 将式(1-3-17)代入,并利用8,的性质算出对j作和,得到 a=∑A (1-3-18) 如果说式(1-3-13)是由a到a,的“正变换”,那么式(1-3 18)就是由a到a的逆变换。用A;}表示这一逆变换的系 数 a,=∑Aa, (1-3-19)
则由式(1-3-18)可知 4 A,; (1-3-20) 如果将(A,,)看成一个矩阵,则(471)是它的转置逆矩 阵。式(1-3-20)表明,正交变换矩阵的转置逆矩阵等于它 自身。这可以简写为: (1-3-21) 将式(1-3-18)和b,,b,的类似式子代入式(1-3-16)中, 不难证明 ∑A.’,A3;=6 (1-3-22) 式(1-3-17)、(1-3-2)和式(1-3-21)、(1-3-20)等效。它们 是正交变换所应满足的条件。 (1-3-17)、(1-3-2)这两式有直观的意义。注意,A4, 的第一个下标是矩阵 A1112 A 的行标号,而A,,的第二个下标是矩阵A的列标号式(1-3- 22)右边当午j时等于0,这表示矩阵A的不同行的对应 元素相乘作和等于零;而式(1-3-22)的右边当=j时等于 1,这表示矩阵A同一行的各元素的平方和等于1.将每一行 的三个元素看成一个矢量的三个分量,则上述论断可以表述 为:矩阵A的不同行所代表的矢量相互正交,而每一行所代 表的矢量长度为1。类似地,(1-3-17)式表明,矩阵A的不 同列所代表的矢量相互正交,而每一列所代表的矢量长度 为1。这是正交矩阵的性质 18
§1-4三维欧氏空间中张量的定义 三维欧氏空间 普通的三维空间称为三维欧氏空间(注)“欧氏”两个 字表示这一空间中的几何学是初等欧几里德几何 欧几里德几何中有一条“勾股弦定理”,它指出:直角 三角形两直角边的平方和等于斜边的平方: a2+ 如图1-6。如果在三维空间中有一个矢量x,它的三个分量 是x1,x2,x3,则将勾股弦定理应用两次可见,x的长度的平 方(xx)等于三个分量的平方和 直角三角形的勾弦 三维欧氏空间中矢量的长度 图1-7 x:d 如图1-7。 式(1-4-1)是式(1-2-12) y (1-4-2) 〔注〕在本书中,不加说明的“欧氏空间”都指真欧氏空间。 19