目录 第一章三维欧氏空间中的张量………… s1-1引言—什么是张量 §1-2矢量代数…………………………………………4 §1-3坐标变换 §1-4三维欧氏空间中张量的定义 §1-5三维欧氏空间中的张量运算 S1-6张量场 …………40 第二章仿射空间与伪欧氏空间中的张量 46 §2-1引言—改变空间性质的必要性 46 §2-2仿射空间中的张量…… 48 §2-3伪欧氏空间中的张量………… S2-4复欧氏室间………… 第三章曲/坐标…… ·······.·“·.·· §3-1部标架 §3-2 坐标中的张量… §3-3 移动与联络 w4….…… §3-4”b变导数 第四章;黎面中的张量……灬……………105 §4-1黎曼空间与防时联络空间→……… 105 §4-2平行移动对路径的依赖性曲率张量……………113 s4-3黎曼空间的测地线…… 122 §4-4广义相对性原理 ……………I28
第一章三维欧氏空间中的张量 §1-1引言什么是张量 在物理学中常常会遇到一些不能单用一个数字表示的 量。最简单的例子是力F,速度U,加速度,电场强度E 电极化强度P等等。这些量除了大小以外还有方向,通常称 它们为矢量。许多物理规律用公式表示出来都是矢量之间的 等式。例如,牛顿第二定律 F=m得 11-1) 电介质的极化定律 P=ae (1-1-2) 等等。式中m和a分别是粒子的质量和介质的电极化率。 我们来较仔细地讨论后一个例子。在电介属中加上电场 E,使得介质的分子极化。在未加电场时,分子的正电荷中 心与负电荷中心重合,如图1-1(a)外电场E将分子的正、负 电荷中心拉开一个距离,如图1-1(6)。用±Q表示分子中 正、负电荷的电量,则有电偶极矩 = 9r 单位体积中的电偶极矩称为介质的电极化强度P 式(1-1-2)表示介质的电极化强度与加在介质上的电场 强度E成正比。比例系数a表征了所讨论的介质的性质,称 为虐极化率
但是,式(1-1-2)只适用 于各向同性介质。某些介质在 不同方向有不同性质。这种不 同方向有不同性质的介质称为 (a)加电场前(b)加电场后各向异性介质。对于这种介 的图,图表乔正华质,在不同方向加同样强度的 心,空心圆圈表示负电荷中心 电场,所产生的电极化强度的 图1-1 大小不同,而且其方向也不一 定和所加的电场方向一致。这种介质的电极化规律不能简单 地用(1-1-2)式表示,它们的“电极化率”不是一个简单的 数,这是物理量不能用一个单一的数字表示的又一例子。 所有这些不能用一个单一的数字表示的物理量统称为张 量注)。张量以它的阶数(又称为秩数)来分类,矢量是一阶 张量的例子,各向异性介质中的电极化率是二阶张量的例 通常定义矢量A为“既有大小,又有方向的量”,这种 定义不便于推广,下面我们采用A的另一定义,即矢量A为 “具有三个分量A,A,A的量”,为了便于书写,将x y,三个方向分别用1,2,3表示。于是矢量A可以用三个数表 示为(A1,A2,A3),或简写为A.(i=1,2,3)。由于它有一 个下标,所以称为一阶张量 各向异性介质中的电极化率是这样一个物理量,它将一 个矢量P和另一个矢量E建立对应关系,而P并不和E简单成 正比,其方向也不一定和E平行。但是,当电场E不太强 注〕这不是张量的精确定义,张量的定义将在§1-4中给出。另外,还应 指出,广义地说只用一个数就能表示的量也是一种张量即零阶验篮
时,P和E的对应关系仍然是线性关系注),它可以用分量表 示为 E P2=a2:E1+a22E2+a23E (1-1-3) E E2+a33E 或缩写为 P,=∑a,E (i=1,2,3).(1-1-4) 由此可见,各向异性介质的电极化率可以用九个数a,(i,j =1,2,3)表示,它有两个下标,,所以称为二阶张量 但是,矢量分量的值是与坐标系的选择有关的。当我们 将坐标系(Oxy2z)转一个角度成为(Ox’y′)时,矢量A的 升量也由(A:,A,,A2)变为(A:,A,,A:)在不同的 坐标系中,同一灰量的分量有不同的值.我们知道,矢量(例如 力F,加速度,电场强度E,电极化强度F)是客观的物理 量,它们应该与坐标系的人为选择无关;然而,为了定量地 表示它们,又必须选定一个坐标系给出它们的分量。这是一 个矛盾。解决这一矛盾的方法是规定矢量分量在坐标变换时 的变换规律。知道了这一变换规律,只要在一个坐标系中给出 某一矢量的分量,也就等于在任意坐标系中都给出了它的分 量。这样给出的矢量就是一个与坐标系无关的客观物理量 同样的讨论也适用于二阶和更高阶的张量,一个n阶张 量的完整定义包括:在一个坐标系中给出3个数,和规定 〔注可以认为P是E的解析函数,满足条件:当E=0时,P=0.如界E 不太强,可以将这一函数展开成泰勒级数,只取不为零的第一项。这就是
这些数在坐标变换时的变换规律两部分。 我们看到,张量分量在坐标变换时的变换规律是张量定 义中的一个不可缺少的部分。因此,在§1-4中给出张量的 定义和运算之前,先在下两节中复习一下三维空间中的矢量 代数和坐标变换。 §1-2矢量代数 坐标基矢 在这一章中的全部讨论都采用直角坐标系(笛卡尔坐标 系),这种坐标系的三个坐标轴方向的单位矢量用,(i=1, 2,3)表示。可以区分下面两种情况:如果由e1按右手螺旋 旋转到e2可以得到e3,如图1-2(a),则称为右手坐标系;如 果由e1按左手螺旋旋转到e2得到,如图1-2(b),就称为左 手坐标系。 这一节只讨论右手坐标系。 三个单位矢量e〔i=1,2,3)称为坐标基矢。由于它们相 互垂直,所以,不同e的点积为零;而由于它们是单位矢量 所以,同一个e的自乘(点积)等于1。亦即 (a)右手坐标系 (b)左手坐标系 图1-2两类坐标系