的值 按张量的变换规律(1-4-9), 8,;′=∑∑A,',A,3,=∑ 但是,根据正交变换的性质(1-3-22), 当订午j A,,A 当i 这就证明了,按式(1-4-11)定义的8,在坐标变换后,其各 个分量的值不变。也就是说,在任意坐标系中都按(1-4-11) 定义的二阶对称8符号是一个二阶张量 3。高阶张量 高阶张量的定义可以从一阶和二阶张量的定义推广而 来 定义在任一坐标系中给出具有个下标的3个数,当 坐标变换时,这个下标分别独立地按照和坐标基矢的变换 规律相同的规律变换 g-;=∑ A, ,, A (1-4-12) 则这3个数a,2-,构成一个阶张量。 如果a,:2-,在坐标转动时按式(1-4-12)变,而在坐标 反演时,比式(1-4-12)差一个符号 A‘:A.2:…A,,a,:当坐标转动 当坐标反演 (1-4-13) 25
则 ;拘成一个阶赝张量, 以上各式中的作和符号没有写出作和范围,而隐含着从 到3的作和 实际上,上述定义是张量的普遍定义,其中包括v=0的 零阶张量,即标量(赝标量),以及ν=1,2的一阶、二阶 张量(赝张量)。下面再举一个三阶张量(=3)的例子 【例3】有些晶体有压电效应。当它由于形变而产生应 力时,会出现电场。用σ表示应力张量(见例1),D表 示由于压电效应产生的电感应矢量D的分量,则D,是σ 的函数。这一函数关系可以写成 ∑4xγ;:σ (1-4-14) 证明γ,是一个三阶张量(称为压电张量)。 证当坐标变换时,D:和O;分别按式(1-4-4)和式 (1-4-9)变: A:,D ;O氵 (1-4-16) 将后一式子按式(1-3-18)的形式写成逆变换 ∑A’,A (1-4-17) 将式(1-4-17)和式(1-4-14)一道代入式(1-4-15),有 D,=∑4xA ∑∑:4xA4,’,A,A4'4γ,σ 26
但是,在新坐标系中,压电效应的规律(1-4-14)式也应成立 D 4xγ 比较以上二式,得到 ?,,4′=∑A,,A’;A1'y,.(1-4-18) 这就证明了?,是三阶张量。 三、张量的整体符号 以上我们是在笛卡尔坐标中给出张量的分量来定义张 量。但是,张量也可以用整体符号表示,这种表示在有些情 况下(特别是对于一阶和二阶张量)用起来比较方便 以一阶张量为例,它用分量写出是a,将a,乘上坐标基 矢,并作和,就得到 a a, e (1-4-19) 这就是代表一阶张量的整体符号。它就是通常的矢量符号。 与此类似,将二阶张量的分量a,乘上坐标基矢e,和e 并作和,得到代表二阶张量的整体符号 (1-4-20) 注意,上式右边并排书写的两个矢量c,和e;之间不进行任何 矢量运算—一既不叉乘,也不点乘。它们是两个独立的单位 矢量,共同构成二阶张量的基 将式(1-4-19)中的哑标为l,再用e,点乘,得到 27
∑ 利用式(1-2-3)就可看到,上式右边等于a,,即 (1-4-21) 这是由整体符号a求分量a,的公式。 类似地,将式(1-4-20)中的哑标i,j改写为l,m,再用 和·;分别从左边和右边点乘,得到 e:=∑a1-(e,)(e…;) =∑a1:3,y=a4 即 这是由二阶张量的整体符号a求分量a,的公式。 【例4】将电极化的规律式(1-4-7)写成整体符号的形 解电极化率a4写成整体符号是 将它和电场强度 E E 点乘,得 28
E ae,ei(eie, ∑∑a;l aiE 将式(1-4-7)代入,得到 a·E ∑ c: P:=P (1-4-25) 这就用整体符号写出了电极化规律(1-4-7)式。 从这个例子可看到,写成整体符号的二阶张量,可以和 矢量(一阶张量)点乘,得到另一矢量。这种点乘一般说来 与次序有关,即E·a一般说来不等于a·E,只在a是对称 二阶张量一—a;;=a;时,两者才相等。 个重要的二阶张量是8,(见例2),它称为二阶单位张 量。它的整体符号是 8;;,e e, e 它和任意矢量a的点积还等于这一矢量自身: e·g=g·e=a (1-4-27) 证 ∑ E:a:=