6.,8,-6;6 (1-2-19 证先分析等式左边。根据它的两个因子知道: 午j年k,lmk 结合这两个不等式可知,等式左边不为零的条件是 l,j=m,i中j或i=m,=l,i 在第一种情况下.排列i八和k1、m有相同的奇偶性,因 而 l;在第二种情况下,排列i、和k、l、m的 奇偶性相反,因而e,4Htm=-1。由此得到: +1当 ,J= 卡J (1-2-20 1当 j=l, i+j 而在其余情况下,它都等于零。 再来看式(1-2-19)的右边。当i=l,j=m,ij(因而 im)时,只有第一项,因而等于+1当i=m,=l,i 因而il)时,只有第二项,因而等于-1;这些都和式 (1-2-20)相符。还剩下一种情况要考虑,即 此时,等式(1-2-19)左边为零,而右边的两项都等于1,相 减为零。这样就完成了式(1-2-19)的证明。 四、三矢量的连乘 三个矢量a、b,c的连乘有两种,一种是a·(b×),另一 种是aX(b×c) 利用式(1-2-14)和式(1-2-16)有 a·(b×c) (b×c),=∑ ,b:Ck.(1-2-21)
利用式(1-2-18),可以将它写成行列式 a·(b×c)=b1b2bs (1-2-22) 将这一行列式的三行进行轮换,其值不变,因而得到 (b×c)=b.(c×a)=c.(a×b) 再来看三个矢量的连又乘aX(b×c)。先用式(1-2-14)t b×c),=∑εtmb;c 再用一次式(1-2-14): ax(b×e),=∑e,;;( 利用式(1-2-19)可以完成上式中对k的作和 〔ax(b×e)〕4=∑(8,0 -.,a, 6,c) b,(a·c)-c,(a.b 在得到后一行时用了式(1-2-12)和式(1-2-15)。上式对于 =1,2,3都对,因而可以合写成矢量等式 a×(bxc)=b(ac)-c(ab).(1-2-24) 用类似的办法不难计算更多个矢量的连乘积。 §1-3坐标变换 这一节讨论不同坐标系之间的变换。我们不考虑坐标平 11
移,而只讨论坐标原总不动的变换,其中包括转动,镜面反 射和反演这三种变换都保持矢量点积的公式(1-2-12)不变 统称为正交变换 下面先考虑基矢的变换,然后再看矢量分量的变换。 基矢的变换 设原来坐标系的基矢为 ,e 1-3-1) 转动后的坐标基矢为 这三个矢量在原坐标系(1-3-1)中的分量用 A11,A12,A1a) (A2 A 2′1,422,42′g (A311,A3'2;A3'3), 表示,因而有 +A +a e2′=A21e1+A22e2+A2a3}(1-3-3) A A322+A3's 这就是新旧坐标基矢之间的变换公式。它可以缩写成 a, (1-3-4) 为了求41:定写式(1-3-4中的哑标l,再用e点乘 左、右两边,并利用式(1-2-3) a.,,e ∑A,’1, 利用δ符号的性质求出对4的作和,得到 12
A G. .e (1-3-5) 由于·和e,都是单位矢量,所以它们的点积就是它们夹角 的余弦。因此,A,等于新旧坐标轴夹角的余弦。 下面分几种情况讨论。 1。坐标转动 在坐标转动过程中。坐标轴夹角的余弦A,,可以在1 到+1之间连续地变化。在此过程中,三个坐标基矢结合成一 个整体一道转动,因此坐标系的类型不变,即:右手坐标系 转动后仍然是右手坐标系,左手坐标系转动后仍然是左手坐 标系。 2。镜面反射 为了具体起见,假定是对e2es 所在平面的镜面反射如图1-3。此 时,第一个坐标基矢改号而另外两个 基矢不变。用公式写出就是 图1-3镜面反射 (1-3-6) 和式(1-3-3)比较可见 A 1′1 1,A (1-3-7) A 0当 由图1-3可见,镜面反射的结果,坐标系的类型发生改 变—一右手坐标系变成左手坐标系,左手坐标系变成右手坐 标系。 3。反演 ·13·
三个坐标基矢都改号的变换叫反 演,如图1-4。用公式写出就是 和(1-3-3)比较可见 A s=-1, 图1-4反演 0,当 (1-3-9) 比较图1-3和图1-4可见,反演可以看成是先进行对e2a 平面的镜面反射,然后绕第1轴转180°而得到。由于转动不 改变坐标系的类型,所以反演和镜面反射一样,使坐标系的 类型发生变化。这一点也可以直接从图1-4看到。 、赝矢量和赝标量 坐标基矢叉乘的定义式(1-2-10)即式(1-2-6),以及 由它推出的两个任意矢量又乘的公式(1-2-14)〔即式(1-2 17)在任意坐标系中都有相同的形式。然而,在两类不同的 坐标系中,坐标基矢之间有不同的旋转关系,如图1-2,因 此,在这两类坐标系中,矢量的义乘实际上得到不同的结果 在右手坐标系中,矢量的叉乘axb和矢量a,b之间形成 右手螺旋关系y而在左手坐标系中,a×b和,b间形成左 手螺旋关系。 我们常说两矢量的又乘是一矢量,现在我们发现,它 是一个特殊的“矢量”。它的特殊性在坐标系的类型发生变 化时显示出来。例如,假定在右手坐标系中计算×b,则它 和,b形成右手螺旋关系。经过坐标反演,坐标系变成左手 14