0当与〕 ;c氵 定义二阶对称6符号为 0当i与j 1-2-2) 则可以将式(1-2-1)写为 1-2-3) 由定义式(1-2-2)可知,,对它的两个下标对称: 6;= J (12-4) 我们知道,矢量的乘积除点积外还有又积。两个矢量的 又积是一个垂直于这两个矢量所成平面的矢量,而其大小等 于这两矢量的大小之积再乘上两个矢量夹角的正弦。由此立 即可知,一个矢量和自身的又积为零。因此 c;=0,当i=了 另一方面,由于三个矢量c,相互垂直,且长度都等于1,所 以有 Ei xe2=exeI=e ca×2=c es×e 式(1-2-5)和式(1-2-6)可以借助于三阶完全反对称E符 号合写成一个式子。三阶完全反对称符号e,有三个下标, 每个下标都可以取1,2,3三个值。按定义,ε,;对它的三个 下标中任意两个的交换都反对称: 由此立即可知,ε,+的33=27个分量中,凡是有两个下标取
相同值的分量都是零;不为零的分量只是ij,k各不相等,分 别取1,2,3三个值的六个分量。又由于有(1-2-7)式,因而这六 个分量中只有一个是独立的。取这一个独立分量为 e 1 就完全确定了e,式(1-2-7)和式(1-2-8)合起来是e;的 定义。它也可以写为 e j或j=k或k (1-2-9 E123=E231=8312 e821 上式第二行可以表述为:e,当,,h为1,2,3的偶排列时等 于+1当i,,为1,2,3的奇排列时等于-1 利用e,可以将式(1-2-5)和式(1-2-6)合写为 (1-2-10) 实际上,由e,的性质,当=j时,式(1-2-10)的右边为 零,这就是(1-2-5),当i中j时,式(1-2-10)的右边和式的 三项中只有ki,h+j的一项不为零,而由式(12-9)就得到 (1-2-6) 式(1-2-3)和式(1-2-10)表达了坐标基矢e,(i=1,2,3) 的基本性质,它们是以下讨论矢量代数的出发点 二、任意矢量的点积和叉积 任意矢量和b可以用坐标基矢展开为 4=0,6,+0202+0363=2a, 2-11)
b=b:e1+b2e2+b。=∑be, a.(i=1,2,3)和b,(=1,2,3)分别是矢量a和b的分量。 在深入讨论之前,先对下标作一些说明。凡是进行了作 和的下标称为哑标,如式(1-2-11)中的和式(1-2-10)中的 k。哑标实际上并不取任何特定的值,而是取遍1,2,3三个 值。在进行作和以后,哑标不再存在。例如式(1-2-10)的右 边k是哑标,左边就不再有。反之,不作和的下标称为自由 标。任何等式左、右两边的自由标必须正好对应,如式(1 2-10)中的i和j 由于哑标只是对下标1,2,3作和的代号,所以它可以换 用任意符号。例如式(1-2-10)右边的k换成,或m或任何其 他符号均可,而对自由标就不能任意改动(如果要改动自由 标,必须对一个等式的所有各项中出现的这个指标同时改 动) 一条重要的规则是:当两个和式相乘时,哑标不能重 复。如果这两个和式原来采用的哑标相同,则在将它们相乘 时,应该将其中一个哑标换成其他符号。 % 现在来考虑任意矢量和b的点积和又积。为了避免哑标 重复,先将式(1-2-11)中的第二式的下标改为j。如是有 b=∑∑a,b,e axb= a 1 将式(1-2-3)、式(1-2-10)代入,得到 7
(1-2-12) axb=∑∑∑e,a,b,e (1-2-13) 根据式(1-2-7),ε,=e.代入式(1-2-13)并改换哑标符 号,可以将式(1-2-13)改写为 axb=∑∑∑ee,a,b (1-2-13) j·】·】i1 b是一个矢量,式(1-2-13)式(1-2-13)是它按坐标基矢 展开的展开式,因此,它的分量是 (axb),=∑∑e,1ab (1-2-14) 下面来将所得到的点积和叉积的公式化成熟悉的形式 式(1-2-12)右边的作和式中含有6;;因子。由于,的性 质(1-2-2),在对j作和时,不为零的只有j=一项,因而 有 b,,,=b 这可以总结成一条有用的规则 如果在一个式子的某一项中,含有因子,并对j求 和,就可以去掉这个8,,和作和符号,并将这一项里 的其他因子中的下标广都换成 将式(1-2-15)代入式(1-2-12)得到 ab=∑a,b,=a1b1+a2b2+asb。.(1-2-16)
再来看式(1-2-14).当i=1时,由e符号的性质(1-2-9), 右边的和必须等于2和3:而且当j=2,k=3时有正号,当 j=3,=2时有负号.当i=2,3时也有类似情况。于是有 (a×b)1=a2b8-a362 (1-2-17) axb)。=a1b2-a2b 式(1-2-16)和式(1-2-17)就是通常点积和叉积的公式 在进一步考虑三个矢量的连乘积之前,先来证明符号 和符号的儿个有用的公式。 三、δ符号和E符号的几个公式 首先来看用符号写出三阶行列式展开式的公式 G a2 a 6, b2 b ab2:c (1-2-18) 证考虑阶行列式 66. 6 它的展开式的每…项都是三个因子的乘积—从每一行都取 个而且只取一个因子,从每一列也取一个而且只取一个因 子。因此,展式的-般项可以写成 ±a,b;C (i午j+k) 其中取正号还是取负号,要视j是偶排列还是奇排列而 定。这样,利用E号的性质(1-2-9),就可以写出(1-2- 18 下面再宋明个将e符号和♂符号相联系的公式: