授课方式: 本课程教学实施“课程工程”,主要包括:在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面,概述如下 (1)在线资源 课程体系网站: 微积分的一流化进程:htp:/ fdjpkc. fudan.edu.cn,/d201353/ main.htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习,表现二方面:①知识体系 自身的研究,主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通;②知识体系传播的研究,既包括研究高成效的传授方式,也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本课程体系网站,主要包括的栏目有: 研究背景包括:“数理观点”;“教学理念与教学方式”;“知识体系与课程体系”;“课程教 师与合作专家”。 体系讲稿主要按知识体系发布对应的讲稿,包括“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上 微积分”,“赋范线性空间上微分学”,“测度论”,“泛函分析”。后二个目录尚在建设中。 教学视颜主要按知识体系发布对应的教学视频,包括:一元微分学,一元积分学;常微 分基础;高维微分学,高维积分学,级数;赋范线性空间上微分学等。 课程建设通过组合相关知识体系建设相关课程,包括:“数学分析”(一年制),“经典力 学数学名著选讲”(有关微积分的深化);“流形上的微积分”,“应用实变函数与泛函分析基础 (本科生与研究生共享课程)。对于每一课程,包括子栏目:知识体系、教学大纲、试卷习题 教与学研究、开设信息。 教学研究综合性包括:“阶段总结”;“杂志论文(含原稿)”,“会议论文(含原稿)”;“学 术报告(含随笔)”;“教改项目”。 图示研究致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究,亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录,包括:“ Euclid空间上微积分”,“微分流形上微积分”;“赋范线性空间上 微分学”;“测度论”;“泛函分析”。目前主要涉及“ Euclid空间上微积分”的图示化研究,其 它的均在建设中。 通识研究隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识” 一特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法;基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”,不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究,并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频(按知识点与知识要素进行剪 辑)。《数学分析B(Ⅱ)》涉及:高维微分学、高维积分学、级数的二个层面的视频:(1) 基础性层面,可供首次学习使用;(2)提高性层面,按基本内容、方法化、应用化进行各类, 适合在一定学习的基础上使用
6 授课方式: 本课程教学实施“课程工程”，主要包括：在线资源、文本支持、实体课堂、研讨课、课程 讲座等五方面，概述如下： （1）在线资源 课程体系网站： 微积分的一流化进程：http://fdjpkc.fudan.edu.cn/d201353/main.htm 本课程体系网站的建设基于微积分相关数理知识体系的研习，表现二方面：① 知识体系 自身的研究，主要特征为基于“数学通识”实现同一知识体系内的融会贯通、不同知识体系之 间的触类旁通；② 知识体系传播的研究，既包括研究高成效的传授方式，也包括通过组合相 关知识体系以建设相关课程。 本课程体系网站，主要包括的栏目有： 研究背景 包括：“数理观点”；“教学理念与教学方式”；“知识体系与课程体系”；“课程教 师与合作专家”。 体系讲稿 主要按知识体系发布对应的讲稿，包括“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上 微积分”，“赋范线性空间上微分学”，“测度论”，“泛函分析”。后二个目录尚在建设中。 教学视频 主要按知识体系发布对应的教学视频，包括：一元微分学，一元积分学；常微 分基础；高维微分学，高维积分学，级数；赋范线性空间上微分学等。 课程建设 通过组合相关知识体系建设相关课程，包括：“数学分析”（一年制），“经典力 学数学名著选讲”（有关微积分的深化）；“流形上的微积分”，“应用实变函数与泛函分析基础” （本科生与研究生共享课程）。对于每一课程，包括子栏目：知识体系、教学大纲、试卷习题、 教与学研究、开设信息。 教学研究 综合性包括：“阶段总结”；“杂志论文（含原稿）”，“会议论文（含原稿）”；“学 术报告（含随笔）”；“教改项目”。 图示研究 致力于将数理知识体系中重要的概念、复杂的分析过程进行图示化说明。图示 化研究成果源于并服务于知识体系自身的研究，亦隶属并服务于知识体系传播的研究。按知识 体系建设相关目录，包括：“Euclid 空间上微积分”，“微分流形上微积分”；“赋范线性空间上 微分学”；“测度论”；“泛函分析”。目前主要涉及“Euclid 空间上微积分”的图示化研究，其 它的均在建设中。 通识研究 隶属同一知识体系或者不同知识体系的知识点可能含有相同的“数学通识”— —特定的数学等式、不等式或者特定的处理方式方法；基于“数学通识”可实现同一知识体系 之间的“融会贯通”，不同知识体系之间的“触类旁通”。本栏目设计为按知识体系划分子目录 以分别进行通识性结构的研究，并在对应的子栏目下涉及跨知识体系的通识性结构的研究。本 栏目持续性建设中。 现课程体系网站上已经有完全可以用以自主学习的课程视频（按知识点与知识要素进行剪 辑）。 《数学分析 B（Ⅱ）》涉及：高维微分学、高维积分学、级数的二个层面的视频：（1） 基础性层面，可供首次学习使用；（2）提高性层面，按基本内容、方法化、应用化进行各类， 适合在一定学习的基础上使用
结合现有课程体系网站上的系统视频,学生可以课前先进行自学;课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性,并且课堂形式 可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性 对应数学分析的混合教学,基于复旦大学在线课程网站 http://fudan.mooc.chaoxing.com/portal的在线课程《数学分析——元微积分 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372287.html 现在线课程提供的主要学习资料为 课程录像分为随堂录像与概述录像二部分:①随堂录像,即为课程体系网站上的视频, 按课程进度进行学习;②概述录像,注重整体性阐述相关思想与方法,应用于阶段性学习。 般而言,经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频,一般 对应于随堂录像,观看此类视频,并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿为在线PDF文本,包括已出版教材《微积分讲稿——高维微积分》的主要内 容。学习讲稿,主要包括:①阐述概念、思想与方法,基本对应于课程录像的内容。②典型 事例,往往首先为解答一类问题提供方法,然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后,学习典型事例的解答。 基础练习为在线PDF文本。在学习讲稿的基础上,进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分:①基础性练习基于所归纳方法,可以较为轻松地解答这部分练习,作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。②提高性练习这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考,可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择。 图示化研究我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上,学习图示化研究的有关内容,以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有,知识体系架构的图示化,以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握,另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源的具体的学习路径,如图15所示。原则上,学生可基于上述内容循序渐进 地进行自学。 基于在线资源(课程体系网站与在线课程),我们将课堂的功能分为二个递进性层面 如图所示。 ①基础性辨授(基本层面)基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究,系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习。 ②提高性讲授(高级层面)学生事先学习了基础性层面的教学视频,就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”,而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性, 并且课堂形式可以增加师生间的互动,提高课堂的翻转性
7 结合现有课程体系网站上的系统视频，学生可以课前先进行自学；课堂讲授无需再重复所 有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性，并且课堂形式 可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性。 对应数学分析的混合教学，基于复旦大学在线课程网站 http://fudan.mooc.chaoxing.com/portal 的在线课程《数学分析——一元微积分》 http://moocl1.chaoxing.com/course/99372287.html 现在线课程提供的主要学习资料为： 课程录像 分为随堂录像与概述录像二部分：① 随堂录像，即为课程体系网站上的视频， 按课程进度进行学习；② 概述录像，注重整体性阐述相关思想与方法，应用于阶段性学习。 一般而言，经过二至三次的学习可以理解与掌握数学分析的基本思想与方法。学习视频，一般 对应于随堂录像，观看此类视频，并结合学习目的中所列的要点掌握基本的概念、思想与方法。 学习讲稿 为在线 PDF 文本，包括已出版教材《微积分讲稿—— 高维微积分》的主要内 容。学习讲稿，主要包括：① 阐述概念、思想与方法，基本对应于课程录像的内容。② 典型 事例，往往首先为解答一类问题提供方法，然后给出代表性事例的解答。在学习概念、思想与 方法之后，学习典型事例的解答。 基础练习 为在线 PDF 文本。在学习讲稿的基础上，进行相关练习。有些章节的练习将分 为二部分：① 基础性练习 基于所归纳方法，可以较为轻松地解答这部分练习，作为对相关思 想与方法最为初步的理解。这部分练习往往要求全部完成。② 提高性练习 这部分练习涉及较 为深入的分析方法或者练习于其它知识体系。解答这部分问题往往需要一定的思考，可以多次 考虑相关问题。这部分练习可以结合自己的实际情况进行选择。 图示化研究 我们将微积分中的概念、思想、结论、分析、方法进行图示化。在完成学习 视频、学习讲稿、基础练习的基础上，学习图示化研究的有关内容，以期总体性理解与掌握相 关思想与方法。另有，知识体系架构的图示化，以此一方面可以检查哪些内容已掌握、哪些内 容尚需掌握，另一方面可以总体性研究各知识要点之间的关系。 基于在线资源的具体的学习路径，如图 15 所示。原则上，学生可基于上述内容循序渐进 地进行自学。 基于在线资源（课程体系网站与在线课程），我们将课堂的功能分为二个递进性层面， 如图所示。 ① 基础性讲授（基本层面） 基于我们现有的对知识体系知识及其传播的研究，系统且清 晰地讲授相关思想与方法。这种类型的教学视频可供学生初始的自习。 ② 提高性讲授（高级层面） 学生事先学习了基础性层面的教学视频，就此课堂讲授不再 是强调与重复所有的“细枝末节”，而是强化思想性、强化通识性、澄清复杂性、强化方法性， 并且课堂形式可以增加师生间的互动，提高课堂的翻转性
知识点与知识要素 架构研究 结构驱动结论 唱两狮之富的系 “新”的内容 正本清源 “旧”的内容 二 数学机 L制 基础性讲授 格物致知 物理机制 (基础层面) 适用于在线 随堂录像 「学生课前 概念的图示化 图示化研究 分析的图示化 油象”事物的 论的图示化 复杂过程的要义分解 讲授剧本 课堂的功能 课堂讲授 彩色粉笔使用约定 二个递进性层面 板书研究 逻辑记号使用约定 图示化表述 (概念分析结论) 强化思想性 由结构驱动结论 强化通识性 数学机制与物理机制 易混淆的认识 提高性讲授 澄清复杂性 (高级层面) 适用于 复杂的分析过程 翻转课堂 基于学生 课前自学 强化方法性 特定结构或处理的 吏用方法 教师与学生 师生间互动 学生与学生 课堂的功能(二个递进性层面〕:基础性讲授(基础层面)、提高性讲授(高级层面
8 课堂的功能（二个递进性层面）：基础性讲授（基础层面）、提高性讲授（高级层面）
视频:随堂讲授 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 文本:章节学习目的 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 课程教程 陈纪修等《数学分析》 文本:理论与事例 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 辅助教程 《微积分讲稿一一元微积分》 《微积分讲稿一高维微积分》 《微积分讲稿一高等微积分》 图示:图示化研究 初步与同步学习 定义、结论、分析的图示 初始阶段 文本:基础性习题 初步与同步学习 按知识点或知识要素 初始阶段 视频:概要性讲授 阶段性回顾 思想与方法 中间阶段 图示:数学通识 综合性回顾与总结 融会贯通、触类旁通 高级阶段 文本:深化与拓广内容 深化与拓广 深化习题或专题研究 高级阶段 在线课程各章节的内容架构,对应于学习路径 基于在线课程的学习流程,如上图所示
9 在线课程各章节的内容架构，对应于学习路径 基于在线课程的学习流程，如上图所示
(2)文本支持 分以下方面 主要教程现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》,按知识点进行划分(章)。每 章含有知识要素,阐述思想与方法;应用事例,分类给出典型问题的处理方法;拓广深化,主 要将相关思想与方法联系于其它课程。①《讲稿》适合配合教学视频进行学习,鉴于数学分 析的教与学的程度,事先务必先学习知识要素部分。②课程讲授后,可以基于应用事例学习 具体方法的应用,然后再进行练习。⑧③《讲稿》拓广深化部分,适合在一定的学习基础上参 阅 习题文件本课程按相关内容提供习题文件,主要包括:①基础性习题,本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行,主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题,较为深入的习题,以此可以加深认识、拓广技艺。 研讨日志主要整理研讨课(包括习题课)中讲述的思想、方法、习题与解答 (3)实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学,追求在方法论层面传授思想与方法,亦 即提高性讲授(高级层面),如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构,然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升 通识化基于已有知识发展新的知识,提炼不同知识点的内在相似性(数学通识) 图示化概念、结论、分析过程的图形表示,再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示,以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径,籍此实现方法至能力的升华 (4)研讨课 按课程人数进行分组,每位同学每周参加一次研讨课(2至2个半小时)。研讨课每周安 排2-3次,时间与同学们协调,每周研讨课的内容错开,整理有《研讨课日志》,每位同学每 周参加一次,再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课,隔周周末进行,每次三小时 (5)课程讲座 每学期进行三次课程讲座,按内容进行:微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介 学术上,注重以知识体系研究为基础,藉此驱动教学与科研工作。相对地,教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系,同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验。 教学方面注重以知识点及知识要素构建知识体系;注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通;注重以知识体系认知世界的过程,基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介 10
10 （2）文本支持 分以下方面： 主要教程 现已正式出版《微积分讲稿——一元微积分》，按知识点进行划分（章）。每 章含有知识要素，阐述思想与方法；应用事例，分类给出典型问题的处理方法；拓广深化，主 要将相关思想与方法联系于其它课程。① 《讲稿》适合配合教学视频进行学习，鉴于数学分 析的教与学的程度，事先务必先学习知识要素部分。② 课程讲授后，可以基于应用事例学习 具体方法的应用，然后再进行练习。③ 《讲稿》拓广深化部分，适合在一定的学习基础上参 阅。 习题文件 本课程按相关内容提供习题文件，主要包括：① 基础性习题，本部分习题基于 课程讲授的思想与方法就可以较为顺利地进行，主要目的在于理解与熟练相关方法的应用。② 提高性习题，较为深入的习题，以此可以加深认识、拓广技艺。 研讨日志 主要整理研讨课（包括习题课）中讲述的思想、方法、习题与解答。 （3）实体课堂 每周一个下午进行集中性讲授与研讨。实体教学，追求在方法论层面传授思想与方法，亦 即提高性讲授（高级层面），如图“课堂的功能”所示。就此首先需要深入研究知识体系的内 在结构，然后再研究其传播形式。课堂讲解上注重三个方面的提升： 通识化 基于已有知识发展新的知识，提炼不同知识点的内在相似性（数学通识） 图示化 概念、结论、分析过程的图形表示，再复杂与精妙的内容也能经过要义分解并且 将本质用图形表示，以此理解与认识上清清楚楚、简简单单 方法化 归纳可适用一类问题的程序化且有效的解决路径，籍此实现方法至能力的升华 （4）研讨课 按课程人数进行分组，每位同学每周参加一次研讨课（2 至 2 个半小时）。研讨课每周安 排 2-3 次，时间与同学们协调，每周研讨课的内容错开，整理有《研讨课日志》，每位同学每 周参加一次，再自学其它时段的研讨课记录。另安排有习题课，隔周周末进行，每次三小时。 （5）课程讲座 每学期进行三次课程讲座，按内容进行：微分学、积分学、综合性讲座各一次。 主讲教师简介: 学术上，注重以知识体系研究为基础，藉此驱动教学与科研工作。相对地，教学与科研的 提升不断地要求更为深入的知识体系，同时也积累且深化了基于知识体系认知世界的经验。 教学方面 注重以知识点及知识要素构建知识体系；注重通过数学通识实现同一知识体系 的融会贯通以及不同知识体系之间的触类旁通；注重以知识体系认知世界的过程，基于已有的 知识发展新知识的过程进行课程讲述。目前建设有“微积分的一流化进程”以及“现代连续介