(i)|z| (i)|z-1|=1, (i)l|=3 (iv)|z|=R,R→∞; dz,C分别为 =1 (i)闭合曲线r=3-sm2 4.计算下列积分 (2) 2|=22 1=2+1 5.计算下列积分: In 2 (1) dz. (2) 2(2+16) 6.(1)计算积分 (2)a取何值时,函数F(2) “(+=)山是单值的 7.求lnx在闭区域0≤Rez≤2r,0≤Imz≤2中的最大值 第四章无穷级数 判断下列级数的收敛性与绝对收敛性: 2.证明级数 2≠ 收敛,并求其和 3.试确定下列级数的收敛区域:
Wu Chong-shi ❱ ❲ 5 (i) |z| = 1 2 , (ii) |z − 1| = 1, (iii) |z| = 3, (iv) |z| = R, R → ∞; (2) I C 1 z 2 + 1 e iz dz ✷ C ◆❖✛✚ (i) |z − i| = 1, (ii) |z| = 2, (iii) |z + i| + |z − i| = 2√ 2, (iv) ➞➟➠⑥ r = 3 − sin2 θ 4 . 4. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) I |z|=2 cos z z dz; (2) I |z|=2 z 2 − 1 z 2 + 1 dz; (3) I |z|=2 sin (ez ) z dz; (4) I |z|=2 e z cosh z dz. 5. ➑➒✌✍➓◆✚ (1) I |z|=2 sin z z 2 dz; (2) I |z|=2 |z| e z z 2 dz; (3) I |z|=2 sin z z 4 dz; (4) I |z|=2 dz z 2(z 2 + 16). 6. (1) ➑➒➓◆ I |z|=1 e z z 3 dz ➡ (2) a ②✩❭✼✷✣✏ F(z) = Z z z0 e z 1 z + a z 3 dz ✜❬❭✑ t 7. ✱ |sin z| ❃➞➃➄ 0 ≤ Re z ≤ 2π, 0 ≤ Im z ≤ 2π ④✑➢➤❭P ✄➥✆ ➦➧➨✞ 1. ❁❂✌✍➩✏✑➫➭➯➲➳➵➫➭➯✚ (1) X∞ n=2 i n ln n ; (2) X∞ n=1 i n n . 2. ❋●➩✏ X∞ n=1 z n−1 (1 − z n)(1 − z n+1) , |z| 6= 1 ➫➭✷❇✱❈✗P 3. ❯➸✈✌✍➩✏✑➫➭➃➄✚ (1) X∞ n=1 z n! ; (2) X∞ n=1 z 1 + z n ; (3) X∞ n=1 (−) n (z 2 + 2z + 2)n ; (4) X∞ n=1 2 n sin z 3 n
4.证明级数 2n+3 的和函数在z=1点不连续 5.证明 2 2|<1, 并由此导出 rsin 8-n2 SIn 20 36 1+rcos e 其中-1<r<1 6.求下列级数之和 (1)cosB+ cos 20 cos 39,cos 40 0<6<2丌, 0<6<2丌; 4 cos 36 cOs 50 cos 70 (2)cos 8 0<6 sin 6+ ≤6≤ 30 sin 56 76 <6< 3 提示:利用上题结果以及Abel第二定理 7.试求下列幂级数的收敛半径 (2) 第五章 Taylor展开和 Laurent展开 1.将下列函数在指定点展开为 Taylor级数,并给出其收敛半径:
Wu Chong-shi 6 ➺ ✂ 4. ❋●➩✏ X∞ n=0 h z n+1 n + 1 − 2z 2n+3 2n + 3 i ✑✗✣✏❃ z = 1 ✴➻➼➽P 5. ❋●✚ ln(1 − z) = −z − z 2 2 − z 3 3 − z 4 4 − · · · , |z| < 1, ❇↕➾ ❆☞ r cos θ − r 2 cos 2θ 2 + r 3 cos 3θ 3 − + · · · = 1 2 ln 1 + 2r cos θ + r 2 , r sin θ − r 2 sin 2θ 2 + r 3 sin 3θ 3 − + · · · = arctan r sin θ 1 + r cos θ , ❈④ −1 < r < 1 P 6. ✱✌✍➩✏➚✗✚ (1) cos θ + cos 2θ 2 + cos 3θ 3 + cos 4θ 4 + · · ·, 0 < θ < 2π, sin θ + sin 2θ 2 + sin 3θ 3 + sin 4θ 4 + · · ·, 0 < θ < 2π; (2) cos θ + cos 3θ 3 + cos 5θ 5 + cos 7θ 7 + · · ·, 0 < θ < π, sin θ + sin 3θ 3 + sin 5θ 5 + sin 7θ 7 + · · ·, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 ; (3) sin θ − sin 3θ 3 2 + sin 5θ 5 2 − sin 7θ 7 2 + − · · ·, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 ; (4) cos θ − cos 5θ 5 + cos 7θ 7 − cos 11θ 11 + − · · ·, − π 3 < θ < π 3 . ➪➶✚➹➘➴➷➬➮➱✃ Abel ❐❒❮❰P 7. ❯✱✌✍Ï➩✏✑➫➭➝➐✚ (1) X∞ n=1 1 nn z n ; (2) X∞ n=1 1 2 nnn z n ; (3) X∞ n=1 n! nn z n ; (4) X∞ n=1 (−) n 2 2n(n!)2 z n ; (5) X∞ n=1 n ln n z n ; (6) X∞ n=1 1 2 2n z 2n ; (7) X∞ n=1 ln n n n! z n ; (8) X∞ n=1 1 − 1 n n z n . ✄Ð✆ Taylor ÑÒ✟ Laurent ÑÒ 1. Ó✌✍✣✏❃✉✈✴ÔÕ✛ Taylor ➩✏✷❇➎☞❈➫➭➝➐✚
(1)1-2,在z=1展开; (2)sinz,在z=n丌展开 在z=0展开; 在z=0展开; 在z=0展开(可只求前四项) 2.将下列函数在指定点展开为 Taylor级数,并给出其收敛半径: (1)lnz,在z=i展开,规定0≤argz< (2)lmz,在2=i展开,规定nzl==-立 (3) arctan 2的主值,在z=0展开 展开,规定 (2k+1)丌 3.求下列无穷级数之和: (1) 1,|z|<1; (2) 2|< 4.求下列函数的 Laurent展开: 在z=1附近晨开 (z-1) z2(z-1) 展开区域为1<|2<∞ 展开区域为1<|2<2;(4) 晨开区域为2<|2< (2-1(2-2,展开区域为3<<4( (2-1)(2-2,展开区域为4<||<∞ (z-3)(z-4) 5.用级数相乘的方法求下列函数(取主值分枝)在z=0点附近的级数展开 6.判断下列函数奇点的性质,如果是极点,确定其阶数: (1)22,a≠0 (2) DS a2 (5)cos 1 sinh (a-1)lnz (8) 7.判断下列函数在∞点的性质 (8)√(z-1)(z-2)
Wu Chong-shi ❱ ❲ 7 (1) 1 − z 2 , ❃ z = 1 ÔÕ➡ (2) sin z, ❃ z = nπ ÔÕ➡ (3) 1 1 + z + z 2 , ❃ z = 0 ÔÕ➡ (4) sin z 1 − z , ❃ z = 0 ÔÕ➡ (5) exp 1 1 − z , ❃ z = 0 ÔÕ (❅Ö✱×ØÙ) P 2. Ó✌✍✣✏❃✉✈✴ÔÕ✛ Taylor ➩✏✷❇➎☞❈➫➭➝➐✚ (1) ln z, ❃ z = i ÔÕ✷③✈ 0 ≤ arg z < 2π; (2) ln z, ❃ z = i ÔÕ✷③✈ ln z z=i = − 3 2 π; (3) arctan z ✑Ú❭✷❃ z = 0 ÔÕ➡ (4) ln 1 + z 1 − z , ❃ z = ∞ ÔÕ✷③✈ ln 1 + z 1 − z z=∞ = (2k + 1)π P 3. ✱✌✍ÛÜ➩✏➚✗✚ (1) X∞ n=0 1 2n + 1 z 2n+1 , |z| < 1; (2) X∞ n=0 1 (2n)! z 2n , |z| < ∞. 4. ✱✌✍✣✏✑ Laurent ÔÕ✚ (1) 1 z 2(z − 1), ❃ z = 1 ÝÞÔÕ; (2) 1 z 2(z − 1), ÔÕ➃➄✛ 1 < |z| < ∞; (3) 1 z 2 − 3z + 2 , ÔÕ➃➄✛ 1 < |z| < 2; (4) 1 z 2 − 3z + 2 , ÔÕ➃➄✛ 2 < |z| < ∞; (5) (z − 1)(z − 2) (z − 3)(z − 4), ÔÕ➃➄✛ 3<|z|<4; (6) (z − 1)(z − 2) (z − 3)(z − 4), ÔÕ➃➄✛ 4<|z|<∞. 5. ✧➩✏ßà✑▲á✱✌✍✣✏ (②Ú❭◆❵) ❃ z = 0 ✴ÝÞ✑➩✏ÔÕ✚ (1) − ln(1 − z) ln(1 + z); (2) ln(1 + z 2 ) arctan z. 6. ❁❂✌✍✣✏â✴✑➯ã✷✸✹✜✵✴✷➸✈❈ä✏✚ (1) 1 z 2 + a 2 , a 6= 0; (2) cos az z 2 ; (3) cos az − cos bz z 2 , a 6= b; (4) sin z z 2 − 1 z ; (5) cos 1 √ z ; (6) √ z sin √ z ; (7) 1 (z − 1) ln z ; (8) Z z 0 sinh √ ζ √ ζ dζ. 7. ❁❂✌✍✣✏❃ ∞ ✴✑➯ã✚ (1) z 2 ; (2) 1 z ; (3) cos z z ; (4) z cos z ; (5) z 2 + 1 e z ; (6) exp − 1 z 2 ; (7) 1 cosh √ z ; (8) p (z − 1)(z − 2)
第六章常微分方程的幂级数解法 1.求二阶线性常微分方程,使其解为 (1)1(z)=z,2(2)=e (2)1(2)=exp ;a(a) (2()=80()=sn:(4)(2)=2,m2()= 2.求下列方程在z=0邻域内的两个级数解 (2)u (4)(1+2+2)"+2(1+2)u+2u=0; 3.求下列方程在z=0邻域内的两个级数解 (1)2(1-2)u"+2(1-32)u-(1+2)u=0:(2)92u"-152u+(3624+7)=0 3)2uy"-z2+u=0 (4)zu"+(z-1)+u=0 2 du 4.求方程 dz 0在z=0附近的两个独立解 5.求方程 d m2=0在z=0附近的两个独立解 第七章解析延拓 1.定义在不同区域內的两个级数可以互为解析延拓.作为一个例子,证明 f1(2)=1+a2+a2+a323+ f2(z) 2)2(1-z)3 互为解析延拓 2.无穷级数在不同区域内可以收敛到不同的和函数.这两个和函数尽管(在不同区域内) 有相同形式的级数表达式,但却不互为解析延拓.作为一个例子,证明级数 在区域|2<1与|2>1内分别代表两个解析函数,但不互为解析延拓 f( (1)证明:z=1是f(2)的奇点; (2)证明:f(2)=2+f(2),因此,z2=1的根也都是f(x)的奇点;
Wu Chong-shi 8 å ✂ ✄æ✆ çè➌éêëì➨✞✿í 1. ✱îä⑥ ➯✯ï◆▲▼✷ð❈❉✛✚ (1) w1(z) = z, w2(z) = ez ; (2) w1(z) = exp 1 z , w2(z) = exp − 2 z ; (3) w1(z) = cos a z , w2(z) = sin a z ; (4) w1(z) = z 2 z 2 − 1 , w2(z) = z z 2 − 1 . 2. ✱✌✍▲▼❃ z = 0 ñ➄➅✑♥❡➩✏❉✚ (1) w 00 − z 2w = 0; (2) w 00 − zw = 0; (3) (z 2 − 1)w 00 + zw0 − w = 0; (4) (1 + z + z 2 )w 00 + 2(1 + 2z)w 0 + 2w = 0; 3. ✱✌✍▲▼❃ z = 0 ñ➄➅✑♥❡➩✏❉✚ (1) z 2 (1−z)w 00+z(1−3z)w 0−(1+z)w = 0; (2) 9z 2w 00 − 15zw0 + (36z 4 + 7)w = 0. (3) zw00 − zw0 + w = 0; (4) zw00 + (z − 1)w 0 + w = 0; 4. ✱▲▼ d 2u dz 2 + 2 z du dz + m2u = 0 ❃ z = 0 ÝÞ✑♥❡òó❉P 5. ✱▲▼ d 2w dz 2 + 1 z dw dz − m2w = 0 ❃ z = 0 ÝÞ✑♥❡òó❉P ✄ô✆ ✿❀õö 1. ❮÷øùúûüýþÿ✁✂✄➱☎✆✝✞✟✠ P❼✛❞❡✡☛✷❋● f1(z) = 1 + az + a 2 z 2 + a 3 z 3 + · · · ➲ f2(z) = 1 1 − z − (1 − a)z (1 − z) 2 + (1 − a) 2 z 2 (1 − z) 3 − + · · · ☞ ✛❉❊✌✍P 2. ÛÜ➩✏❃➻✻➃➄➅❅✎➫➭❥ ➻✻✑✗✣✏P✏ ÿ✑✒✂✓✔(øùúûüý) ✕✖ú✗✘þ✁✂✙✚✘✷✛✜ù☎✆✝✞✟✠ P❼✛❞❡✡☛✷❋●➩✏ X∞ n=1 1 1 − z n+1 − 1 1 − z n ❃➃➄ |z| < 1 ➲ |z| > 1 ➅◆❖✢✬♥❡❉❊✣✏✷✣➻ ☞ ✛❉❊✌✍P 3. ❙ ❚ ✚ f(z) = X∞ n=0 z 2 n = z + z 2 + z 4 + z 8 + z 16 + · · · , |z| < 1. (1) ❋●✚ z = 1 ✜ f(z) ✑â✴➡ (2) ❋●✚ f(z) = z + f(z 2 ) ✷✤ ➾ ✷ z 2 = 1 ✑✥➈✦✜ f(z) ✑â✴➡
(3)类似地证明:2=1的2k个根也是f(2)的奇点,k为任意正整数 (4)由此证明:不可能将f(z)延拓到单位圆外 第八章留数定理及其应用 1.求下列函数在指定点z处的留数: 0; 20 0 (7) 1 0,1,2, 2.求下列函数在奇点处的留数 为正整数; (5)exp (6)cos (2-1)In 1 3.求下列函数在∞点处的留数 (2) (5)ex (6)√(2-1)(2-2) 4.计算下列积分值 2
Wu Chong-shi ❱ ❲ 9 (3) ✧★✩❋●✚ z 2 k = 1 ✑ 2 k ❡✥➈✜ f(z) ✑â✴✷ k ✛✪✫❾✬✏➡ (4) ↕ ➾ ❋●✚➻❅①Ó f(z) ✌✍❥ ❬➛➜✭ P ✄✮✆ ✯✞✰✱✲✳✴✵ 1. ✱✌✍✣✏❃✉✈✴ z0 ❄✑✶✏✚ (1) 1 z − 1 exp z 2 , z0 = 1; (2) 1 (z − 1)2 exp z 2 , z0 = 1; (3) z 1 − cos z 2 , z0 = 0; (4) z 2 z 4 − 1 , z0 = i; (5) 1 z 2 sin z , z0 = 0; (6) 1 + ez z 4 , z0 = 0; (7) e z (z 2 − 1)2 , z0 = 1; (8) 1 cosh √ z , z0 = − 2n + 1 2 π 2 , n = 0, 1, 2, · · · . 2. ✱✌✍✣✏❃â✴❄✑✶✏✚ (1) 1 z 3 − z 5 ; (2) 1 (1 + z 2)m+1 , m✛❾✬✏; (3) z 1 − cos z ; (4) √ z sinh √ z ; (5) exp 1 2 z − 1 z ; (6) cos 1 √ z ; (7) 1 (z − 1) ln z ; (8) 1 z 1 + 1 z + 1 + 1 (z + 1)2 + · · · + 1 (z + 1)n . 3. ✱✌✍✣✏❃ ∞ ✴❄✑✶✏✚ (1) 1 z ; (2) cos z z ; (3) z cos z ; (4) (z 2 + 1)ez ; (5) exp − 1 z 2 ; (6) p (z − 1)(z − 2). 4. ➑➒✌✍➓◆❭✚ (1) I |z−1|=1 1 1 + z 4 dz; (2) I |z−1|=2 1 1 + z 4 dz; (3) I |z−1|=1 1 z 2 − 1 sin πz 4 dz; (4) I |z|=3 1 z 2 − 1 sin πz 4 dz;