842.算符的矩阵表示 11/61 84.2算符的矩阵表示 上节讨论了态在各种表象中的表述方式,本节讨论算符在各种表 象中的表示方式 设算符F作用于波函数Y(x,t)后得到另一函数Φ(x,t),在坐标 表象中记为 Φ(x,t)=Fx,O i ax p(, t). (4.2-1) 下面我们讨论这个方程在Q表象中的表示 42.1分立本征值情形 设Q只有分立的本征值Q1,Q2,…,Q 对应的本征函数为 u1(x),u2(x),……,un(x),……将(x,t)和Φ(x,t)分别按{un(x)}展开 平(x,1)=>am(D)um(x) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.2. ÎÝ L« 11/61 §4.2 ÎÝ L« þ!?Ø 3«L¥L㪧 !?ØÎ3«L ¥L«ª© Î Fb ^użê Ψ(x, t) ,¼ê Φ(x, t)§3I L¥P Φ(x, t) = F x, ~ i ∂ ∂x Ψ(x, t). (4.2-1) e¡·?Øù§3 Q L¥L«© 4.2.1 ©á / Q k©á Q1, Q2, · · · , Qn, · · · §éA ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ©ò Ψ(x, t)Ú Φ(x, t) ©OU {un(x)} Ðm Ψ(x, t) = X m am(t)um(x),
842.算符的矩阵表示 12/61 Φ(x,t)= ∑ bm(t)um(r). 代入式(42-1)中,有 bm(tum(x)=F,i ax)m am(t)um(r) 以u2(x)左乘上式两边并对x积分,积分范围是x变化的整个区域 有 bm(t)/u(x)u m(r)dx ∑/na(x)F umor)ara (4.2-2) i ax 利用un(x)的正交归一性, u m(r)um(x)dx =0 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.2. ÎÝ L« 12/61 Φ(x, t) = X m bm(t)um(x). \ª(4.2-1)¥§k X m bm(t)um(x) = F x, ~ i ∂ ∂x X m am(t)um(x) ± u ∗ n (x) ¦þªü>¿é x È©§È©´ x Cz«§ k X m bm(t) Z u ∗ n (x)um(x)dx = X m Z u ∗ n (x)F x, ~ i ∂ ∂x um(x)dxam(t). (4.2-2) |^ un(x) 85§ Z u ∗ n (x)um(x)dx = δnm
842.算符的矩阵表示 13/61 式(4.2-2)简化为 ∑ (x)Fx ar )um(r)dram(D) ic (4.2-3) 引进记号 nm uh()F/h um(r)dx (4.2-4) i ax 后,式(4.2-3)简化为 b(D)=∑F (4.2-5) 式(42-5)就是式42-3在Q表象中的表达方式.{bn()和{am(t)}分别 是Φ(x,t)和平(x,1)在Q表象中的表示.Fm是算符F在Q表象中的 表示,因n=1,2,…,所以式(42-5是一组方程,这组方程可以用矩 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.2. ÎÝ L« 13/61 ª(4.2-2){z bn(t) = X m Z u ∗ n (x)F x, ~ i ∂ ∂x um(x)dxam(t). (4.2-3) Ú?PÒ ~ Fnm = Z u ∗ n (x)F x, ~ i ∂ ∂x um(x)dx (4.2-4) §ª(4.2-3){z ~ bn(t) = X m Fnmam(t). (4.2-5) ª(4.2-5)Ò´ª(4.2-3)3 Q L¥Lª©{bn(t)} Ú {am(t)} ©O ´ Φ(x, t) Ú Ψ(x, t) 3 Q L¥L«©Fnm ´Î Fb 3 Q L¥ L«§Ï n = 1, 2, · · · §¤±ª(4.2-5)´|§§ù|§±^Ý
42.算符的矩阵表示 14/61 阵形式表示为 b1() F11F Im b2(t) F21 F (4.2-6) bn(t Fn1Fn2…Fmm… 所以算符F在Q表象中是一个矩阵,它的矩阵元是Fm,用F表示 这个矩阵,用Φ表示式(42-6左边的一列矩阵,平表示式(426右边 的一列矩阵,那么式42-6可简单表示为 ①=FY (4.27) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.2. ÎÝ L« 14/61 /ªL« ~ b1(t) b2(t) . . . bn(t) . . . = F11 F12 · · · F1m · · · F21 F22 · · · F2m · · · · · · · · · · · · · · · · · · Fn1 Fn2 · · · Fnm · · · · · · · · · · · · · · · · · · a1(t) a2(t) . . . an(t) . . . . (4.2-6) ¤±Î Fb 3 Q L¥´Ý §§Ý ´ Fnm©^ F L« ùÝ §^ Φ L«ª(4.2-6)>Ý §ΨL«ª(4.2-6)m> Ý §@oª(4.2-6){üL« ~ Φ = FΨ (4.2-7)
42.算符的矩阵表示 15/61 422厄密算符在Q表象中的矩阵表示 讨论式(42-4)的共厄复数 un()Fum(x)d 由于算符F是厄密算符,所以 (r)Fun(r)dx, 即 (4.2-8) 可见,F矩阵的第m列第n行的矩阵元等于它第n列第m行矩阵 元的共厄复数,满足式(42-8)的矩阵称为厄密矩阵.所以,表示厄密 算符的矩阵是厄密矩阵 用F+表示矩阵F的共厄矩阵,按共厄矩阵的定义(见附录三) nm ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.2. ÎÝ L« 15/61 4.2.2 Î3 Q L¥Ý L« ?ت(4.2-4)Eê F ∗ nm = Z un(x) Fub m(x) ∗ dx duÎ Fb ´Î§¤± F ∗ nm = Z u ∗ m(x)Fub n(x)dx, = F ∗ nm = Fmn. (4.2-8) ~ . . §F Ý. . . 1. m . 1. n 1. . Ý. . . . u. §. 1. n . 1. m 1. Ý. . . . . . E. ê. §÷. v. ª. (4.2-8) . Ý. . ¡. . . . Ý. . ©¤. ±. §L. «. . . . Î. . Ý. . ´. . . Ý. . © ^ F + L«Ý F Ý §UÝ ½Â(N¹n) ~ F + mn = F ∗ nm