41.态的表象 6/61 如果平(x,t)和un(x)都是归一化的,则 l(r, t)Idx= ∑ am(t)an(t)/um(r)un(r)dx ∑an()an()nm mn ∑ am(t)an(t) (4.1-9) 由此可知,|an2是在W(x,t)所描写的态中测量力学量Q所测得 的结果为本Qn的几率.数列 a1(t1),a2(1),…an(t), (4.1-10) 就是(x,1)所描写的态在Q表向中的表示.我们可以把(41-10)写成 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 6/61 XJ Ψ(x, t) Ú un(x) Ñ´8z§K Z |Ψ(x, t)| 2 dx = X nm a ∗ m(t)an(t) Z u ∗ m(x)un(x)dx = X mn a ∗ m(t)an(t)δnm = X n a ∗ n (t)an(t) = 1. (4.1-9) dd§|an| 2 ´3 Ψ(x, t) ¤£¥ÿþåÆþ Q ¤ÿ (J Qn AÇ©ê a1(t), a2(t), · · · an(t), · · · . (4.1-10) Ò´ Ψ(x, t) ¤£3 Q L¥L«©·±r(4.1-10)¤
841.态的表象 7/61 列矩阵的形式,并用平标记(关于矩阵的知识见附录三) a1(t) (.1-11) Y的共厄矩阵是行矩阵,用平+标记 ) 1-12 采用这些记号后,式(41-9)可写为 yty=1 .1-13) 有连续本征值的情形.如果力学量Q除了具有分立的本征值 Q1,Q2,…,Qn…外还具有连续的本征值q(q在一定范围内连续变 化),对应的归一化本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),u(x)(例如,氢 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 7/61 Ý /ª§¿^ Ψ IP('uÝ £N¹n) ~ Ψ = a1(t) a2(t) . . . an(t) . . . (4.1-11) Ψ Ý ´1Ý §^ Ψ+ IP ~ Ψ + = a ∗ 1 (t), a ∗ 2 (t), · · · , a ∗ n (t), · · · . (4.1-12) æ^ù PÒ§ª(4.1-9) ~ Ψ +Ψ = 1. (4.1-13) ✿ k. ë. Y. . . . . . /. ©XJåÆþ Q Ø äk©á Q1, Q2, · · · , Qn, · · · äkëY q (q 3½SëYC z)§éA8z ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), uq(x) (~X§
41.态的表象 8/61 原子的能量就是如此),那么式(41-7)应改写为 平(x,D)=∑aMnx)+/ax)dg (4.1-14) 式中 an(t)=/Y(, tun(r)dx, q(1)=/(x,a2(x)dx 式(419)则改写为 ∑qOn0)+/ aq(t)ag(t)dg=1 (4.1-15) an(t)2是在Wx,t)所描述的态中测量力学量Q所得结果的几率, aa()dq是在q→q+dq之间的几率 此时,在Q表象中(x,t)仍然可用一个列矩阵表示,这个矩阵 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 8/61 fUþÒ´Xd)§@oª(4.1-7)AU ~ Ψ(x, t) = X n an(t)un(x) + Z aq(t)uq(x)dq, (4.1-14) ª¥ ~ an(t) = Z Ψ(x, t)u ∗ n (x)dx, aq(t) = Z Ψ(x, t)u ∗ q (x)dx. ª(4.1-9)KU ~ X n a ∗ n (t)an(t) + Z a ∗ q (t)aq(t)dq = 1. (4.1-15) |an(t)| 2 ´3 Ψ(x, t) ¤£ã¥ÿþåÆþ Q ¤(JAǧ aq(t) 2 dq ´3 q → q + dq mAÇ. d§3 Q L¥ Ψ(x, t) E,^Ý L«§ùÝ
41.态的表象 9/61 除了有可数的元a1(t),a2(),…,an(D),…外还有连续元a4(1): a1(t) a2() (a(),a2(t,…,a"(,…,a() 式(41-15)仍然有效,即 y+Y=1 (4.1-16) 总之,同一个态可以在不同的表象中用波函数来描写,所取的表 象不同,波函数的形式也不同,但它们描写同一个态.例如(41-1)和 (41-5)式都描写动量为萨的自由粒子的状态,(41-1)式是在坐标表象 中描写,而(4.1-5式则是在动量表象中描写,这和几何中一个矢量可 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 9/61 Ø kê a1(t), a2(t), · · · , an(t), · · · këY aq(t)µ ~ Ψ = a1(t) a2(t) . . . an(t) . . . aq(t) , Ψ + = a ∗ 1 (t), a ∗ 2 (t), · · · , a ∗ n (t), · · · , a ∗ q (t) . ª(4.1-15)E,k§= ~ Ψ +Ψ = 1. (4.1-16) o§Ó±3ØÓL¥^żê5£§¤L Øӧżê/ªØÓ§§£Ó©~X(4.1-1)Ú (4.1-5)ªÑ£Äþ ~p gdâfG§(4.1-1)ª´3IL ¥£§ (4.1-5)ªK´3ÄþL¥£§ùÚAÛ¥¥þ
41.态的表象 10/61 以在不同的坐标系中描写类似.矢量A可以在直角坐标系中用三个分 量(Ax,Ay,A2)来描写,也可以在球极坐标中用三个分量(Ar,A,A 来描写等等.在量子力学中,我们可以把状态Y看成是一个矢量一态 矢量.选取一个特定的Q表象,就相当于选取一个特定的坐标系,Q 的本征函数u1(x),u2 ln(x),…是这个表象的基矢,这相当于坐 标系中的单位矢量,,.波函数(a1(),a2(),…,an(1,…)是态矢量 平在Q表象中沿各基矢方向的分量”,正如A沿,,三个方向的分 量是(A2Ay,A)一样,是三个相互独立的方向,说明所在的 空间是普通的三维空间,量子力学中Q的本征函数 u1(x),l2(x),…,un(x),…有无限多,所以态矢量所在空间是无限维的 函数空间,这种空间在数学上成为希耳伯特( Hilbert空间 常用的表象除坐标表象、动量表象外,还有能量表象和角动量表 象 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §4.1. L 10/61 ±3ØÓIX¥£aq©¥þ A~ ±3IX¥^n© þ (Ax, Ay, Az) 5£§±3¥4I¥^n©þ (Ar , Aθ, Aϕ) 5£ ©3þfåÆ¥§·±rG Ψ w¤´¥þ— ¥þ©ÀA½ Q L§ÒuÀA½IX§Q ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · ´ùLÄ¥§ùu IX¥ü ¥þ~i, ~j, ~k©Å¼ê (a1(t), a2(t), · · · , an(t), · · · ) ´¥þ Ψ 3 Q L¥÷Ä¥“©þ”§X A~ ÷~i, ~j, ~k n© þ´ (Ax, Ay, Az) ©~i, ~j, ~k ´npÕá§`² A~ ¤3 m´ÊÏnm§þfåÆ¥ Q ¼ê u1(x), u2(x), · · · , un(x), · · · kÃõ§¤±¥þ¤3m´Ã ¼êm§ù«m3êÆþ¤F. . Ë. A. (Hilbert). m. © ~^LØIL!ÄþL §kUþLÚÄþL ©