大学物理C教案一力学 章 第二章运动的守恒量和守恒定律 课时2/5/32 教1. 2。掌握保守力和势能的概念，能计算与几种常见保守力相关的势能。 目 3 掌握质点平动和刚体转动时的动能定理 的4，掌握质点系的动能定理，机械能守恒定律 重 点 功的计算：保守力及势能的概念：动能公式的推导：机械能守恒定律的应用 难 点 本次课应强调： 1.计算变力的功时，一定要注意使用积分和积分变量的变换。例如F=F(x)和F=F()时计算 功。 授2。只有保守力才能谈到势能的概念。讲解势能计算时要先讲一般公式，可以很容易突破难点。 课 采用弹性势能的公式E。2“时，已规定弹簧概不伸长也不缩短即原长的位管为弹性 零点。 使用机械能守恒定律的条件是外力和系统内非保守内力做功为零。 5. 能量守恒定律是通过无数实验事实所证实的结论，是自然界具有最大普遍性的定律之一。 学 记 教学内容 第二章运动的守恒量和守恒定律 §2-2功，能，动能定理2-3保守力势能：2-4功能原理，机械能守恒 一力的空间累积效应一功 1.恒力对匀速直线运动物体所做的功 A=F.5=FScosa 说明恒力的功等于力在作用点位移方向上的分量与物体位移大小的乘积。国际单位制中，功的单位是焦耳。 1焦耳就是1牛顿的力使物体沿力的方向移动1米所做的功 1焦耳=1牛顿·米 2.变力对直线运动物体做的功 元功：dM=FcosadS
大学物理 C 教案——力学 章 第二章 运动的守恒量和守恒定律 课时 2/5/32 节 2-2 功，能，动能定理 2-3 保守力 势能；2-4 功能原理，机械能守恒 教 学 目 的 １．掌握功的定义及变力做功的计算方法，理解力矩的功。 ２．掌握保守力和势能的概念，能计算与几种常见保守力相关的势能。 ３．掌握质点平动和刚体转动时的动能定理 ４．掌握质点系的动能定理，机械能守恒定律 重 点 和 难 点 功的计算；保守力及势能的概念；动能公式的推导；机械能守恒定律的应用 授 课 思 路 本次课应强调： 1． 计算变力的功时，一定要注意使用积分和积分变量的变换。例如 = xFF )( 和 时计算 功。 = tFF )( 2． 只有保守力才能谈到势能的概念。讲解势能计算时要先讲一般公式，可以很容易突破难点。 3． 采用弹性势能的公式 2 2 1 p = kxE 时，已规定弹簧既不伸长也不缩短(即原长)的位置为弹性势能 零点。 4． 使用机械能守恒定律的条件是外力和系统内非保守内力做功为零。 5． 能量守恒定律是通过无数实验事实所证实的结论，是自然界具有最大普遍性的定律之一。 教 学 后 记 教学内容 第二章 运动的守恒量和守恒定律 §2-2 功，能，动能定理 2-3 保守力 势能；2-4 功能原理，机械能守恒 一． 力的空间累积效应-功 1． 恒力对匀速直线运动物体所做的功 =⋅= FSSFA cosα v v 说明恒力的功等于力在作用点位移方向上的分量与物体位移大小的乘积。国际单位制中，功的单位是焦耳。 １焦耳就是１牛顿的力使物体沿力的方向移动１米所做的功 １焦耳＝１牛顿·米 2．变力对直线运动物体做的功 元功： = cosαdSFdA 1
回 大学物理C教案一力学 功： A-∫cosad-「F.d5 特例：若cosa=1则A=∫Fd (示功图) 3.变力对曲线运动物体做的功 质点在变力作用下，沿曲线由a运动至b,在此过程中，变力做功。在曲线上取一小段位移元ds,在d s上可以认为力F的大小和方向均不变，是恒力，根据变力沿直线做功的情形，其微元功A为： 元功：A4=Ec0sa,AS A=JFcosads=fF.dS 功： 4.功率：功反映了在一定时间内外力对物体运动的空间累积效应。有时需要用功率来反映外力在单位时间 内对质点所做的功。 N=44 平均功率： 瞬时功率： 即瞬时功率等于切向分力与瞬时速率的乘积。在实际中上式应用广泛，如汽车爬坡时，需换档减速，以增大 牵引力。 二。动能、动能定理 1.质点和刚体的动能 质点的动能，E,=m 刚体的动能：刚体质元的动能，E。一m2=了△ma 刚体的动能： 2.质点的动能定理 (1)以变力对直线运动物体做功为例 Aamadjmvmm (2)以变力对曲线运动物体做功为例 dA=f.ds f cosads. fcosa=ma,=m dt dA=mydy A=jmh=与m-md 由动能定理知，当外力对质点做正功(A>0),质点的动能增加：当外力对质点做负功时(A<0),质点 的动能减小。动能的增减由外力做功的量值来度量，因而说“功是能的量度。”外力对质点做功(A>0), 质点动能增加，质点也可以通过自身动能减小来对外做功。如火车刹车时，车速慢慢减小，火车克服摩擦阻 力对外做功，当火车停止时，其具有的动能全部转化为对外所作的功。功与能量的变化是紧密相联的。功是 2
大学物理 C 教案——力学 功： ∫ ∫ = ⋅= SdFdSFA v r cosα 特例：若 α = 1cos 则 （示功图） ∫ = FdSA 3 .变力对曲线运动物体做的功 质点在变力作用下，沿曲线由a 运动至b ，在此过程中，变力做功。在曲线上取一小段位移元ｄｓ，在ｄ ｓ上可以认为力F的大小和方向均不变，是恒力，根据变力沿直线做功的情形，其微元功ｄＡ为： 元功： α Δ=Δ SFA iiii cos 功： ∫∫ = ⋅= b a b a SdFdSFA v v cosα 4．功率：功反映了在一定时间内外力对物体运动的空间累积效应。有时需要用功率来反映外力在单位时间 内对质点所做的功。 平均功率： t A N Δ Δ = 瞬时功率： vF t S FN t v v ⋅= Δ Δ = →Δ coslim α 0 即瞬时功率等于切向分力与瞬时速率的乘积。在实际中上式应用广泛，如汽车爬坡时，需换档减速，以增大 牵引力。 二．动能、动能定理 1．质点和刚体的动能 质点的动能： 2 2 1 k = mvE 刚体的动能：刚体质元的动能； 2 22 2 1 2 1 ki ii Δ=Δ= rmvmE ii ϖ 刚体的动能： 22 2 2 1 )( 2 1 Ek ∑Δ= mri = Jϖϖ 2．质点的动能定理 （1）以变力对直线运动物体做功为例 2 2 2 1 2 1 )( b a v v b a b a b a mvdvdx mvmv dt dv mmadxdxxfA b a = = −== ∫∫∫∫ （2）以变力对曲线运动物体做功为例 ； =⋅= cosαdsfsdfdA v v dt dv f == mma α τ cos ； = mvdvdA 2 2 2 1 2 1 b a v v mvdvA mvmv b a −== ∫ 由动能定理知，当外力对质点做正功（Ａ＞０），质点的动能增加；当外力对质点做负功时（Ａ＜０），质点 的动能减小。动能的增减由外力做功的量值来度量，因而说“功是能的量度。”外力对质点做功（Ａ＞０）， 质点动能增加，质点也可以通过自身动能减小来对外做功。如火车刹车时，车速慢慢减小，火车克服摩擦阻 力对外做功，当火车停止时，其具有的动能全部转化为对外所作的功。功与能量的变化是紧密相联的。功是 2
而 大学物理C教案一力学 过程最，动能和势能是状态量，物体在某时刻处于一定的位置和运动状态，就具有相应的动能和势能。由一 个状态到另一个状态，外力对物体所做的功与具体过程有关。 三。保守力与保守力的功 1.重力做功的特点 研究物体与地球构成的系统，重力是系统的内力。设物体的质量为皿，在地面附近，可将物体所受的重力视 为恒力。在重力作用下，经历如图所示的任意路径acb由a点运动至b点，在此过程中重力做功为： 元功：A4=GcosaAS=mgAh 功： A=mg∑△h=mg(h。-hs) 重力做功的重要特点：重力做功与路 径无关。沿闭合曲线，重力做功为零， 这是重力做功特点的另一种表述。 2.弹力的功： 以弹簧未发生形变时，物体的位置为坐标原点，则弹力的功为 弹力：∫=- 弹力的功： x 表明，弹力的功与物体始、末位置有关，而与位置变化的过程无关。可见，弹性力的功与重力的功具有相同 的特征。 3.万有引力的功 当物体m在M的引力场中由a沿路径L运动到b时，m所受的引力 F=-GMm 万有引力的功： 上式表明，万有引力的功只与物体的始末位置有关，与所经过的路径无关。 4.保守力 通过分析上面三个例子，我们不难发现，重力、弹力，万有引力等力做功的特点，共同之处就是做功与路 径无关，只与物体的始末位置有关，或沿闭合曲线一周微功为零。我们定义具有这种特点的力为保守力，即 保守力是做功与路径无关的力。常见的保守力除了以上三种以外，还有静电场力等。与保守力相对应的另一 类力是非保守力，如摩擦力等，非保守力做功与物体所经历的路径有关，沿闭合曲线一周做功不为零。现代 物理学研究表明，自然界中的四种基本相互作用力都是保守力，摩擦力的非保守性是由于它并不直接对应两 个粒子间的相互作用，而是两个相互接触的物体的分子间的许多对电磁相互作用的宏观表现。 四.势能 如果一个物体具有做功的本领，则我们就说该物体具有能量。由物体相对位置所决定的能量称为物体系的 势能。保守力做功与路径无关，因此只有保守力才具有由相对位置决定的能量，即具有势能。 一般公式： 1.中学物理已介绍过重力势能概念。在重力场中，质量为m的质点具有重力势能
大学物理 C 教案——力学 过程量，动能和势能是状态量，物体在某时刻处于一定的位置和运动状态，就具有相应的动能和势能。由一 个状态到另一个状态，外力对物体所做的功与具体过程有关。 三． 保守力与保守力的功 1．重力做功的特点 研究物体与地球构成的系统，重力是系统的内力。设物体的质量为 m，在地面附近，可将物体所受的重力视 为恒力。在重力作用下，经历如图所示的任意路径 acb 由 a 点运动至 b 点，在此过程中重力做功为： 元功： cosα Δ=Δ=Δ hmgSGA 功： ∑ −=Δ= )( hhmghmgA ba 重力做功的重要特点；重力做功与路 径无关。沿闭合曲线，重力做功为零， 这是重力做功特点的另一种表述。 2.弹力的功： 以弹簧未发生形变时，物体的位置为坐标原点，则弹力的功为 弹力： −= kxf 弹力的功： 2 2 2 1 2 1 a b x x x x fdxA kxkxkxdx b a b a −=−== ∫ ∫ 表明，弹力的功与物体始、末位置有关，而与位置变化的过程无关。可见，弹性力的功与重力的功具有相同 的特征。 3．万有引力的功 当物体 m 在 M 的引力场中由 a 沿路径 L 运动到 b 时，m 所受的引力 r r Mm GF v v 3 −= 万有引力的功： ) 11( ab b a rr GMmrdFA −=⋅= ∫ v v 上式表明，万有引力的功只与物体 m 的始末位置有关，与所经过的路径无关。 4． 保守力 通过分析上面三个例子，我们不难发现，重力、弹力，万有引力等力做功的特点，共同之处就是做功与路 径无关，只与物体的始末位置有关，或沿闭合曲线一周做功为零。我们定义具有这种特点的力为保守力，即 保守力是做功与路径无关的力。常见的保守力除了以上三种以外，还有静电场力等。与保守力相对应的另一 类力是非保守力，如摩擦力等，非保守力做功与物体所经历的路径有关，沿闭合曲线一周做功不为零。现代 物理学研究表明，自然界中的四种基本相互作用力都是保守力，摩擦力的非保守性是由于它并不直接对应两 个粒子间的相互作用，而是两个相互接触的物体的分子间的许多对电磁相互作用的宏观表现。 四．势能 如果一个物体具有做功的本领，则我们就说该物体具有能量。由物体相对位置所决定的能量称为物体系的 势能。保守力做功与路径无关，因此只有保守力才具有由相对位置决定的能量，即具有势能。 一般公式： ∫ ⋅= 势能零点 r p rdfE v v 1．中学物理已介绍过重力势能概念。在重力场中，质量为 m 的质点具有重力势能 3
⑧ 大学物理C教案一力学 E,=-了mgdh=mgh 其中h是质点距离势能零点的高度。很显然，重力势能的大小与势能零点的选择有关。 2.一般地讲，保守力场中任一点的势能定义为使系统不改变动能地从势能零点缓慢移动到所求位置时外 力F'所做的功。因为F'总是严格地和向题中保守力F的大小相等，方向相反，所以，只要知道了问题中的 保守力，我们就能计算出势能： Ep=∫F.di 其中6是势能零点的位置。 E,=-jc恤r亦=-G 3.万有引力势能： 其中我们已规定质点M和m相距无穷远时的势能为零。 4.弹性力是保守力，弹性系数为k,绝对伸长为x的弹簧系统的弹性势能为 E。=-「kdk=ka 其中我们已规定弹簧既不伸长也不缩短（即原长）的位置为弹性势能零点。静电场力是保守力，因而也有静电 势能和静电势，这将在第五章介绍。 5.关于势能应该重点强调： (1)由于势能零点的选择有一定的任意性，因此势能的大小是相对的。恰当选择势能零点，确定了势能 零点，其它点的势能才有意义。 (2)势能属于相互作用物体所组成的系统，总是和保守力相关联。对非保守力或单个物体不能谈势能的 概念： (3)不管势能零点如何选择，任意两点的势能之差都是相同的，恒定的：或者说两点的势能之差与势能 零点的选择无关，具有绝对性。 (4)保守力做功，势能减少，所以 As=-(Ep-Epo) 其中E,是末位置的势能，E一是初位置的势能。即保守力的功总是等于其相应势能增量的负值。因而只要知 道系统在始、末状态的势能，就可以求出相应的保守力的功。 五.机械能守恒定律、能量守恒定律 机械能：动能和势能统称为机械能 1.1.物体系的功能原理 由动能定理：E:-E。=A=A+A,=A+A+A 系统中保守内力的功等于相应的势能增量的负值，即A。=-(E。一E) 可得 (Ex+Ep)-(E+Em)=A.+A 其中动能可以包括质点和刚体的动能，势能也可以包括引力（重力）和弹性势能等 上式表明：外力的功与系统非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量，这一结论称为功能原理
大学物理 C 教案——力学 E mghmgdh h p ∫ =−= 0 其中 h 是质点距离势能零点的高度。很显然，重力势能的大小与势能零点的选择有关。 2．一般地讲，保守力场中任一点的势能定义为使系统不改变动能地从势能零点缓慢移动到所求位置时外 力 F′所做的功。因为 F′总是严格地和问题中保守力 F 的大小相等，方向相反，所以，只要知道了问题中的 保守力，我们就能计算出势能： ∫ ⋅= 0r r p rdFE v v 其中 是势能零点的位置。 0r 3．万有引力势能： r GMm rdr r Mm GE r p −=⋅−= ∫ ∞ vv 3 其中我们已规定质点 M 和 相距无穷远时的势能为零。 m 4．弹性力是保守力，弹性系数为 k，绝对伸长为 x 的弹簧系统的弹性势能为 2 0 2 1 E kxkxdx x p =−= ∫ 其中我们已规定弹簧既不伸长也不缩短(即原长)的位置为弹性势能零点。静电场力是保守力，因而也有静电 势能和静电势，这将在第五章介绍。 5．关于势能应该重点强调： （1）由于势能零点的选择有一定的任意性，因此势能的大小是相对的。恰当选择势能零点，确定了势能 零点，其它点的势能才有意义。 （2）势能属于相互作用物体所组成的系统，总是和保守力相关联。对非保守力或单个物体不能谈势能的 概念； （3）不管势能零点如何选择，任意两点的势能之差都是相同的，恒定的；或者说两点的势能之差与势能 零点的选择无关，具有绝对性。 （4）保守力做功，势能减少，所以 )( b −−= EEA pop 其中 是末位置的势能， 是初位置的势能。即保守力的功总是等于其相应势能增量的负值。因而只要知 道系统在始、末状态的势能，就可以求出相应的保守力的功。 Ep Epo 五．机械能守恒定律、能量守恒定律 机械能：动能和势能统称为机械能 1．1．物体系的功能原理 由动能定理： kok +==− = + bnwnw + AAAAAAEE fbn 系统中保守内力的功等于相应的势能增量的负值，即 )( bn = − − EEA pop 可得 pk ko +−+ po = w + AAEEEE fbn )()( 其中动能可以包括质点和刚体的动能，势能也可以包括引力（重力）和弹性势能等。 上式表明：外力的功与系统非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量，这一结论称为功能原理。 4
回 大学物理C教案一力学 功能原理反映了一个物体系统在外力和内力都做功时，系统的功能变化关系。 2.机械能守恒定律 如果某一个物体系统，外力不做功或外力做功为零，同时系统内非保守内力做功也为零，由上式可得： E+E。=Eo+Em=恒量 即系统的机械能保持不变，这一结论称为机械能守恒定律。叙述为：如果系统的外力和非保守内力都不做功 (或做功的代数和为零)，则系统的机械能总为恒量。系统机械能守恒时，保守内力可以做功，使得系统内动 能和势能相互转换。例如质量为m的质点在重力场中作竖直上抛运动时，忽略空气阻力，质点和地球组成的 系统机械能守恒，质点所受的重力是保守内力，重力做功使质点的动能、势能发生变化，但总的机械能不变 机械能守恒定律是经典力学中最基本的定律之一。它虽然可以从牛顿运动定律中推导出来，但是比牛顿运 动定律的应用范围更为广泛。 2.能量守恒和转换定律 大量实验证明，如果一个系统状态发生变化时，非保守力做功，它的机械能就不守恒了，必然有其它形式 的能量转化。如炮弹爆炸时，由化学能、热能转化为机械能：汽车制动时，机械能转化为热能等情形。对于 这些物理过程，考虑到更广泛的能量形式，就可得出一个字宙间不可抗拒的规律一能量守恒定律，叙述为 “能量不能消失，也不能创造，它只能从一种形式转换成另一种形式，从一个物体转移到另一个物体”对于 一个封闭系统，可以叙述为“一个封闭系统，不论发生何种变化过程，该系统所有能量形式的总和是不变的。 能量守恒定律是通过无数实验事实所证实的结论，被视为自然界最基本的定律。无论是宏观物体发生的显著 位移，还是微观物体发生的细小变化，能量总是守恒的。一种能量形式的消失，必然有另一种能量形式产生。 作业教材习题2-16,2-18
大学物理 C 教案——力学 功能原理反映了一个物体系统在外力和内力都做功时，系统的功能变化关系。 2．机械能守恒定律 如果某一个物体系统，外力不做功或外力做功为零，同时系统内非保守内力做功也为零，由上式可得： =+ kopk + EEEE po =恒量 即系统的机械能保持不变，这一结论称为机械能守恒定律。叙述为：如果系统的外力和非保守内力都不做功 （或做功的代数和为零），则系统的机械能总为恒量。系统机械能守恒时，保守内力可以做功，使得系统内动 能和势能相互转换。例如质量为 m 的质点在重力场中作竖直上抛运动时，忽略空气阻力，质点和地球组成的 系统机械能守恒，质点所受的重力是保守内力，重力做功使质点的动能、势能发生变化，但总的机械能不变。 机械能守恒定律是经典力学中最基本的定律之一。它虽然可以从牛顿运动定律中推导出来，但是比牛顿运 动定律的应用范围更为广泛。 2.能量守恒和转换定律 大量实验证明，如果一个系统状态发生变化时，非保守力做功，它的机械能就不守恒了，必然有其它形式 的能量转化。如炮弹爆炸时，由化学能、热能转化为机械能；汽车制动时，机械能转化为热能等情形。对于 这些物理过程，考虑到更广泛的能量形式，就可得出一个宇宙间不可抗拒的规律——能量守恒定律，叙述为 “能量不能消失，也不能创造，它只能从一种形式转换成另一种形式，从一个物体转移到另一个物体”对于 一个封闭系统，可以叙述为 “一个封闭系统，不论发生何种变化过程，该系统所有能量形式的总和是不变的。” 能量守恒定律是通过无数实验事实所证实的结论，被视为自然界最基本的定律。无论是宏观物体发生的显著 位移，还是微观物体发生的细小变化，能量总是守恒的。一种能量形式的消失，必然有另一种能量形式产生。 作业 教材习题 2-16，2-18 5