® 大学物理C教案—力学 料、表面情况以及正压力的大小有关，一般还与相对运动速率ⅴ有关。当物体开始滑动时，滑动摩擦 力要比最大静摩擦力小，而且随若相对速度的增大还会继续减小，之后才随着相对速度的增大而增大。有时 候可以采用特殊方法使这种变化符合我们的需要。例如，越野滑雪者可以用一种特殊的雪撬蜡涂在滑雪板上。 它可以增大静摩擦力而减小滑动摩擦力，从而使滑雪者既可以较顺利地走上斜坡，又可以迅速滑行。 大。牛顿运动定律的应用 利用牛顿定律求解力学问题时，大致要按以下几步进行： 1.认物体，找出要研究的对象：看运动，分析物体的运动状态： 2.分析力，用隔离法确定物体所受的合外力： 3.建坐标，根据受力分析结果，建立适当的坐标系：列方程，利用牛顿第二定律的坐标分量式，列出动力 学方程，若动力学方程数少于独立未知数的个数，还需列出运动学方程： 4.作结论，解出方程，讨论分析结论。 动力学问题一般有两类，一类是已知力的作用情况求运动：另一类是已知物体运动情况求力。这两类问题 的分析方法是一样的，只是解题的步骤不同而已。 七.牛顿运动定律只实用于惯性坐标系 惯性系：牛顿运动定律适用的坐标系 对于非惯性系，若要使用牛顿运动定律，必需加惯性力。对于以加速度。作匀加速运动的非惯性系，惯性 力f=-ma 八、例题 例1-10阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计，且 求重幼物放后 物体的加速度知绳的张力 (2)若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度 相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳 的张力. 例2.如图，滑轮、绳子的质量忽略不计，忽略一切摩擦阻力。若m,>m,在m和m运动的过程中，弹簧 秤的指示是 (1)>(m+m2)8 (2)=(m1+m2)8: (3)>(m+m2)g 解：有两种错误分析： (1)认为%和m动与不动，如果将m和m,看成一个系统，除重力和弹力外没有其它外力，那么 弹簧的张力应等于(m+m2)8. 由于没有考虑加速度，所以结论是错误的。 (2)认为m和m,显然要作加速运动，既然有加速度，就必然需要力。所以弹簧受力应该是重力加 上该物体的m,因此弹簧秤的指示是>(m,+m2)g。 4
大学物理 C 教案——力学 料、表面情况以及正压力的大小有关，一般还与相对运动速率 v 有关。当物体开始滑动时，滑动摩擦 力要比最大静摩擦力小，而且随着相对速度的增大还会继续减小，之后才随着相对速度的增大而增大。有时 候可以采用特殊方法使这种变化符合我们的需要。例如，越野滑雪者可以用一种特殊的雪撬蜡涂在滑雪板上， 它可以增大静摩擦力而减小滑动摩擦力，从而使滑雪者既可以较顺利地走上斜坡，又可以迅速滑行。 六．牛顿运动定律的应用 利用牛顿定律求解力学问题时，大致要按以下几步进行： 1．认物体，找出要研究的对象；看运动，分析物体的运动状态； 2．分析力，用隔离法确定物体所受的合外力； 3．建坐标，根据受力分析结果，建立适当的坐标系；列方程，利用牛顿第二定律的坐标分量式，列出动力 学方程，若动力学方程数少于独立未知数的个数，还需列出运动学方程； 4．作结论，解出方程，讨论分析结论。 动力学问题一般有两类，一类是已知力的作用情况求运动；另一类是已知物体运动情况求力。这两类问题 的分析方法是一样的，只是解题的步骤不同而已。 七．牛顿运动定律只实用于惯性坐标系 惯性系：牛顿运动定律适用的坐标系。 对于非惯性系，若要使用牛顿运动定律，必需加惯性力。对于以加速度 a0 r 作匀加速运动的非惯性系，惯性 力 amf 0 r r −= 。 八、例题 例 1-10 阿特伍德机 （1）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计.且 . 求重物释放后，物体的加速度和绳的张力. （2）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度 相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳 的张力. m1 m2 m1 m2 例 2．如图，滑轮、绳子的质量忽略不计，忽略一切摩擦阻力。若 ，在 和 运动的过程中，弹簧 秤的指示是 > mm 21 m1 m2 （1） ； +> 21 )( gmm （2）= + 21 )( gmm ； （3） +> 21 )( gmm 。 解：有两种错误分析： （1）认为 和 动与不动，如果将 和 看成一个系统，除重力和弹力外没有其它外力，那么 弹簧的张力应等于 。 m1 m2 m1 m2 + 21 )( gmm 由于没有考虑加速度，所以结论是错误的。 （2）认为 和 显然要作加速运动，既然有加速度，就必然需要力。所以弹簧受力应该是重力加 上该物体的 ，因此弹簧秤的指示是 m1 m2 am r > + 21 )( gmm 。 a v 4
回 大学物理C教案一力学 上面两种结论都是无根据的想象，结果都是错误的。 我们用隔离体法： T T 2 m8-73=m,a T2 -m2g m2a T-2T3=0 解此方程组得 a=%-m, m.g m白占m2 m1+m2 了=是g=间+m8隔 4m,i12 又因为：(m-m)2=m+m-2m,m>0 所以：4m,m3=2m,m2+2m,m2<2m,m2+m+m=(m,+m)2 4m,m2 m+m,)护<1 即：了<(m,+m)g 例3.质量为m的快艇正以速率行驶，发动机关闭后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小的平方成正比， 而与速度方向相反，即∫=-之，k为比例系数，求发动机关闭后 公公〉枕艇裤表与时铜的变化提律： (2)(2) 快艇路程与时间的变化规律： (3)(3) 正明快餐行驶距离X时的速度大小为r=,e 解：(1)快艇速率与时间的变化规律： m (2)快艇路程与时间的变化规律： 2w2w-a42g0 ds V。 v= (3)快艇行驶距离x时的速度： 因为 所以v=oeam 在此例题的讲解中要强调： (1)在涉及到变力时，使用牛倾第二定律时要将加速度ā写成d山。 (2)强调分离变量法和变量代换的重要性。 作业教材第44页习题1-10,1-12
大学物理 C 教案——力学 上面两种结论都是无根据的想象，结果都是错误的。 我们用隔离体法： =− 121 amTgm 22 =− 2 amgmT 02TT 21 =− 解此方程组得 g mm mm a 21 21 + − = g mm mm T 21 21 2 2 + = 2 21 21 21 21 21 1 )( 4 )( 4 mm mm gmmg mm mm T + += + = 又因为： )( 21 02 2 2 2 1 2 21 mmmmmm >−+=− 所以： 2 21 2 2 2 21 2121 121 2224 +=++<+= mmmmmmmmmmmm )( 1 )( 4 2 21 21 < + mm mm 即： +< 211 )( gmmT 例 3．质量为 的快艇正以速率 行驶，发动机关闭后，受到的摩擦阻力的大小与速度的大小的平方成正比， 而与速度方向相反，即 ， 为比例系数，求发动机关闭后， m 0 v 2 −= kvf k （1） （1） 快艇速率与时间的变化规律； （2） （2） 快艇路程与时间的变化规律； （3） （3） 证明快艇行驶距离 x 时的速度大小为 mkx evv − = 0 。 解：（1）快艇速率与时间的变化规律： ktvm mv vdt m k v dv dt m k v dv dt dv mkvf v t v 0 0 0 2 2 2 0 + =⇒−=⇒−=⇒=−= ∫∫ （2）快艇路程与时间的变化规律： )1ln( 0 0 0 0 0 0 0 t m kv k m sdt ktvm mv ds ktvm mv dt ds v s t +=⇒ + =⇒ + == ∫∫ （3）快艇行驶距离 x 时的速度： 因为 ∫∫ ⇒−= −=⇒−=⇒−= v t v dt m k v dv x m k v dv kv dt dx dx dv mkv dt dv m 0 2 2 0 所以 mkx evv − = 0 。 在此例题的讲解中要强调： （1） 在涉及到变力时，使用牛顿第二定律时要将加速度 a r 写成 dt vd r 。 （2） 强调分离变量法和变量代换的重要性。 作业 教材第 44 页 习题 1-10，1-12 5
而 大学物理C教案一力学 章 第二章运动的守恒量和守恒定律 课时24/32 2-1动量定理，动量守恒定律 学 掌握动量和冲量的概念及动量定理 目 2.掌握动量守恒定律及其应用 点 动量守恒定律成立的条件及正确应用 和 点 本次课应强调： 1.因为冲量是力对时间的累积效应，因此在有些问题中使用动量原理和动量受恒定律比牛顿第二 定律更方便。 2.使用动量受恒定律的条件是物体系所受合外力为零，这在实际应用中很难满足。一般只要内力 远大于外力（例如冲击、碰撞和爆炸等问题中）时就可用动量受恒定律。 3.动量守恒定律比牛顿第二定律应用范围更为广泛。例如微观领域。动量守恒定律比牛顿定律更 路 具普通意义。 教学内容 第二章运动的守恒量和守恒定律 S2-1动量定理，动量守恒定律 一，力的时间累积效应-一冲量、动量定理 1.冲量、质点的动量定理 (1)动量：D=m (2)牛顿第二定律的另一个表示式 F=丽=m寄空 d山dh 所以，质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率。 2.单个物体的动量定理 d(m)=jdt 所以， ∫f仙=m2-
大学物理 C 教案——力学 章 第二章 运动的守恒量和守恒定律 课时 2/4/32 节 2-1 动量定理，动量守恒定律 教 学 目 的 1．掌握动量和冲量的概念及动量定理 2．掌握动量守恒定律及其应用 教 重 点 和 难 点 动量守恒定律成立的条件及正确应用 授 课 思 路 本次课应强调： 1．因为冲量是力对时间的累积效应，因此在有些问题中使用动量原理和动量受恒定律比牛顿第二 定律更方便。 2．使用动量受恒定律的条件是物体系所受合外力为零，这在实际应用中很难满足。一般只要内力 远大于外力（例如冲击、碰撞和爆炸等问题中）时就可用动量受恒定律。 3．动量守恒定律比牛顿第二定律应用范围更为广泛。例如微观领域。动量守恒定律比牛顿定律更 具普通意义。 教 学 后 记 教学内容 第二章 运动的守恒量和守恒定律 §2-1 动量定理，动量守恒定律 一．力的时间累积效应-冲量 、动量定理 1．冲量、质点的动量定理 （1）动量： p vm v v = （2）牛顿第二定律的另一个表示式 dt pd dt vmd dt vd mamF v v v v v ==== )( 所以，质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率。 2．单个物体的动量定理： dtfvmd v v )( = 所以， 12 2 vmvmdtf 1 t v r v −= ∫ t 1
回 大学物理C教案一力学 定义，7=行山：了一冲量，冲量是矢量。所以，冲量表示了力对时间的累积效应。冲量的量纲 与动最的量纲相同： 冲量的量纲：单位：Ns→冲量的量纲：MT-。 动量的量纲：单位：gms→动量的量纲：MT一 单个物体的动量定理：在运动过程中，物体动量的增量等于合外力对物体所作用的冲量。动量定理在研究 打击、碰撞和爆炸等问题中特别有用。如用锤子敲击铁钉的过程。铁锤的动量在极短时间内产生显著变化， 提供给铁钉巨大的冲击力。在打击和碰撞时，两物体间相互的作用力称为冲力。冲力的特点是作用时间极短 冲力很大，冲力变化情况比较复杂。很难把每一解间的冲力测量出来。但只要知道两物体在碰撞前后的动量， 根据动量定理，就可求出物体所受的冲量：若能测量出碰撞的作用时间，就可求出两物体碰撞时的平均冲力。 碰撞时的冲力不仅取决于动量的改变，而且也与作用的时间有关。若作用时间△t越短，则碰撞时的作用 力也越大，如工厂中的锻压模件和打击等：若作用时间△t越长，则碰撞时的冲力也域小，如包装易碎物品 时，往往需要在物品中间填塞许多碎纸屑】 以便延长碰撞时间，减小碰撞时的冲力等。 3.质点系的动量定理 (①)物体系 (2)内力和外力 (③)质点系的动量定理根据牛顿第三定律，在任一解时，内力总是成对产生、且等值反向，每一对内力引 起的动量变化都相互抵消。所以 ∑p-∑p。=「∑Fd 式中右端为所有外力在某段时间内对物体系统的合冲量，左端为系统动量的增量。上式表明：质点系所受合 外力的冲量，等于质点系总动量的增量。系统的总动量对时间的变化率等于系统所受的外力的矢量和，这就 是质点系的动量定理。 二，动量守恒定律及空间平移对称性 1.1.动最守恒定律 ∑p-∑p。=∫∑Fd 知 若∑F=0:则∑P=∑R, 上式表明：若在某一过程中，系统所受外力的矢量和为零或不受外力时，系统的总动量是一恒矢，保持不变。 如果系统不受外力或所受外力的矢量和为零时，系统的总动量保持不变。这一结论称为动量守恒定律。 关于动量守恒定律应重点讲清楚以下几个问题： (1)动最是矢最，动量守恒定律是动量的矢量和保持不变，但是其代数和可以变化。在实际应用中，应在 适当的坐标系（如直角坐标）下分解，写出分量表达式。 (2)在合外力为零的条件下，尽管物体系的总动量恒定不变，但是组成物体系的每个物体的动量仍然可以 变化。这是因为内力总是成对出现的，并且遵从牛顿第三定律。所以任意一对作用力和反作用力所引起的动 量改变必然是等值、反向，正负抵消。这说明：内力尽管能使每个物体的动量变化，但不能改变物体系的总 动最 (3)∑F=0包含两类情况：物体系不受外力以及虽受外力但严格抵消。在自然界中不受外力的孤立物体 系是不存在的，外力能严格相消的情况也很少见。在处理实际问题时，只要物体系的内力远大于外力时，就 可以用动量守恒定律。例如打击、碰撞和爆炸等过程中，由于物体间的内力是冲力，作用时间极短，作用力 2
大学物理 C 教案——力学 定义， dtf t ∫t = 2 1 I ； I v -冲量，冲量是矢量。所以，冲量表示了力对时间的累积效应。冲量的量纲 与动量的量纲相同： 冲量的量纲：单位： .sN ⇒冲量的量纲： −1 MLT 。 动量的量纲：单位： 动量的量纲： 1 . − mskg ⇒ −1 MLT 单个物体的动量定理：在运动过程中，物体动量的增量等于合外力对物体所作用的冲量。动量定理在研究 打击、碰撞和爆炸等问题中特别有用。如用锤子敲击铁钉的过程。铁锤的动量在极短时间内产生显著变化， 提供给铁钉巨大的冲击力。在打击和碰撞时，两物体间相互的作用力称为冲力。冲力的特点是作用时间极短， 冲力很大，冲力变化情况比较复杂。很难把每一瞬间的冲力测量出来。但只要知道两物体在碰撞前后的动量， 根据动量定理，就可求出物体所受的冲量；若能测量出碰撞的作用时间，就可求出两物体碰撞时的平均冲力。 碰撞时的冲力不仅取决于动量的改变，而且也与作用的时间有关。若作用时间Δt 越短，则碰撞时的作用 力也越大，如工厂中的锻压模件和打击等；若作用时间Δt 越长，则碰撞时的冲力也越小，如包装易碎物品 时，往往需要在物品中间填塞许多碎纸屑，以便延长碰撞时间，减小碰撞时的冲力等。 3.质点系的动量定理 (1)物体系 (2)内力和外力 (3)质点系的动量定理根据牛顿第三定律，在任一瞬时，内力总是成对产生、且等值反向，每一对内力引 起的动量变化都相互抵消。所以 dtFpp t t o w o ∑ ∑ =− ∫∑ v vv 式中右端为所有外力在某段时间内对物体系统的合冲量，左端为系统动量的增量。上式表明：质点系所受合 外力的冲量，等于质点系总动量的增量。系统的总动量对时间的变化率等于系统所受的外力的矢量和，这就 是质点系的动量定理。 二．动量守恒定律及空间平移对称性 1．1．动量守恒定律 由 知： dtFpp t t o w o ∑ ∑ =− ∫∑ v vv 若∑F = 0 v ； 则∑ = ∑ pp o v v 上式表明：若在某一过程中，系统所受外力的矢量和为零或不受外力时，系统的总动量是一恒矢，保持不变。 如果系统不受外力或所受外力的矢量和为零时，系统的总动量保持不变。这一结论称为动量守恒定律。 关于动量守恒定律应重点讲清楚以下几个问题： （1）动量是矢量，动量守恒定律是动量的矢量和保持不变，但是其代数和可以变化。在实际应用中，应在 适当的坐标系(如直角坐标)下分解，写出分量表达式。 （2）在合外力为零的条件下，尽管物体系的总动量恒定不变，但是组成物体系的每个物体的动量仍然可以 变化。这是因为内力总是成对出现的，并且遵从牛顿第三定律。所以任意一对作用力和反作用力所引起的动 量改变必然是等值、反向，正负抵消。这说明：内力尽管能使每个物体的动量变化，但不能改变物体系的总 动量。 （3）∑F = 0 v 包含两类情况：物体系不受外力以及虽受外力但严格抵消。在自然界中不受外力的孤立物体 系是不存在的，外力能严格相消的情况也很少见。在处理实际问题时，只要物体系的内力远大于外力时，就 可以用动量守恒定律。例如打击、碰撞和爆炸等过程中，由于物体间的内力是冲力，作用时间极短，作用力 2
回 大学物理C教案一力学 却极强，外力的冲量可忽略不计，因而系统的动量守恒。 (4)在解决某些力学问题时，应用动量守恒定律比用牛顿第二定律更为方便。这是因为它不必过问问题的 细节。 (5)动量守恒定律比生顿第二定律应用范围更为广泛。例如微观领域。动量守恒定律比生顿定律更具普通 意义，是因为它具有更深刻的物理基础：动量守恒反映了空间平移的对称性。所谓的空间平移的对称性是指： 任意给定的物理实验（或物理现象）的发展过程与该实验所在的空间位置无关，即换一个地方做，实验进展的 过程完全一样。也就是说，在空间各个位置，物理规律是完全相同的。这一事实称为空间平移对称性，也叫 做空间的均匀性。它揭示了对于物理规律而言，空间所有点是彼此等价的。 2.沿某一个方向的动量守恒定律 动量原理在直角坐标系中的分量式 ∑p-∑pm=∫∑fd 由此可知：若系统所受的合外力Σ了≠0，但合外力在某方向的分最∑了=0，此时，可在该方向上使用动 守恒定律的分量表达式。 创1. 例1.质量为M的炮车以仰角《发射质量为m的炮弹。若地面的摩擦力可忽略不计。设炮弹的机 速度为，求炮车的反冲速度。 解：以炮车和炮弹作为物体系。发射前这物体系所受外力有重力和地面的支持力且户=N。在发射过程中， 地面的支持力突然增大，户<。此外，炮车还受到地面的摩擦力：若地面的摩擦力可忽略不计，则物体系 在水平方向不受到外力。物体系在水平方向的动量守恒。 因为：mm,cosa=M, 01* 777777 例2.水平光滑铁轨上有一小车，长度为L,质量为M。车的一端站有一人，质量为m。人和车原来都静止 不动。现该人从车的一端走到另一端，不计地面的摩擦，求人和车各移动的距离？ 解：人和车作为物体系：一+mm,=0 全程人对车的位移为： ===“ 全程人对地的位移为： 车对地的位移为：=+，a=a-。(在同一直线上，去掉方向) mL 所以：车对港的位移是：口=5一L=“M+m《负号表示方向相反) 作业：教材习题2-1,2-9
大学物理 C 教案——力学 却极强，外力的冲量可忽略不计，因而系统的动量守恒。 （4）在解决某些力学问题时，应用动量守恒定律比用牛顿第二定律更为方便。这是因为它不必过问问题的 细节。 （5）动量守恒定律比牛顿第二定律应用范围更为广泛。例如微观领域。动量守恒定律比牛顿定律更具普通 意义，是因为它具有更深刻的物理基础：动量守恒反映了空间平移的对称性。所谓的空间平移的对称性是指： 任意给定的物理实验(或物理现象)的发展过程与该实验所在的空间位置无关，即换一个地方做，实验进展的 过程完全一样。也就是说，在空间各个位置，物理规律是完全相同的。这一事实称为空间平移对称性，也叫 做空间的均匀性。它揭示了对于物理规律而言，空间所有点是彼此等价的。 2.沿某一个方向的动量守恒定律 动量原理在直角坐标系中的分量式 dtfpp t t x xo x o ∑ ∑ =− ∫∑ 由此可知：若系统所受的合外力∑ ，但合外力在某方向的分量 f ≠ 0 v ∑ f x = 0 ，此时，可在该方向上使用动 量守恒定律的分量表达式。 例1． 例 1． 质量为 M 的炮车以仰角α 发射质量为 的炮弹。若地面的摩擦力可忽略不计。设炮弹的初 速度为 m 1 v v ，求炮车的反冲速度 2 v v 。 解：以炮车和炮弹作为物体系。发射前 这物体系所受外力有重力和地面的支持力且 。在发射过程中， 地面的支持力突然增大， Np v v = Np v v < 。此外，炮车还受到地面的摩擦力。若地面的摩擦力可忽略不计，则物体系 在水平方向不受到外力。物体系在水平方向的动量守恒。 因为： 1 2 mv cosα = Mv ， 所以： M mv v 1 2 = 。 例 2．水平光滑铁轨上有一小车，长度为 L ，质量为 M 。车的一端站有一人，质量为 。人和车原来都静止 不动。现该人从车的一端走到另一端，不计地面的摩擦，求人和车各移动的距离？ m 解：人和车作为物体系： 1 2 ∴Mv mv + = 0 v v 人对车的速度为： 2 1 ' 2 M m vvv v M + = −= vvv v 全程人对车的位移为： 2 2 0 0 0 ' t t Mm Mm t L v dt v dt v dt M M + + = = ⋅= ⋅ ∫∫ ∫ 2 0 t ML s v dt M m = = + ∫ 全程人对地的位移为： 车对地的位移为： r v v ， （在同一直线上，去掉方向） 所以：车对地的位移是： rd rc cd r r = + v cd rd rc r rr = − cd mL r sL M m = − =− + （负号表示方向相反） 作业：教材习题 2-1 2-9 ， 3