常微分方程期末考试试卷(6) (适用于02411、02412班) 学院 班级 学号姓名 成绩 填空题(共30分,9小题,10个空格,每格3分)。 时,方程M(xy)dx+N(xy)dy=0称为恰当方程,或称全 微分方程 2 称为齐次方程。 3、求=fxy)满足o(x0)=y的解等价于求积分方程 的 连续解 4若函数fxy)在区域G内连续,且关于y满足利普希兹条件,则方程=f(x,y) 的解y=o(x,x0,y0)作为x,x,y的函数在它的存在范围内是 5、若x1(t),x2(1)x3(1)为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件 是 6、方程组x=A()x的 称之为x=A(1)x的一个基本解组。 7、若(1)是常系数线性方程组x=Ax的基解矩阵,则 expAt 8、满足 的点(x’,y),称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部时,零解是稳定 的,对应的奇点称为 、计算题(共6小题,每题10分)。 1、求解方程:少=x-y+1 dx x+y+3
常微分方程期末考试试卷(6) （适用于 02411、02412 班） 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分）。 1、当_______________时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求 dx dy =f(x,y)满足 0 0 (x ) = y 的解等价于求积分方程____________________的 连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于 y满足利普希兹条件，则方程 f (x, y) dx dy = 的解 y= ( , , ) 0 0 x x y 作为 0 0 x, x , y 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若 ( ), ( ),... ( ) 1 2 3 x t x t x t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件 是__________________________________________。 6、方程组 x A(t)x / = 的_________________称之为 x A(t)x / = 的一个基本解组。 7、若 (t) 是常系数线性方程组 x = Ax / 的基解矩阵，则 expAt =____________。 8、满足___________________的点（ * * x , y ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共 6 小题，每题 10 分）。 1、求解方程： dx dy = 3 1 2 + + − + x y x y
2、解方程:(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程=3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,并求通 过点(0,0)的一切解 求解常系数线性方程:x"-2x+3x=e-cost 5、试求方程组x′=Ax的一个基解矩阵,并计算e“,其中A为 6、试讨论方程组=4x+b,=c(1)的奇点类型,其中ac为常 数,且ac≠0 三、证明题(共一题,满分10分)。 试证:如果g(1)是x=Ax满足初始条件q(t0)=n的解,那么 o()=e“ 常微分方程期末考试答案卷 、填空题。(30分) 1(x, y) aN(x, y) dy 3、y=yo+f(x,y)t 4、连续的 5、w[x1(),x2(,).,x、)]≠0 6、n个线性无关解
2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程 2 3 = dx dy 3 1 y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通 过点（0，0）的一切解 4、求解常系数线性方程： x x x e t t 2 3 cos // / − − + = 5、试求方程组 x = Ax / 的一个基解矩阵，并计算 4 3 1 2 e At ,其中A为 6、试讨论方程组 cy dt dy ax by dt dx = + , = （1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常 数，且 ac 0。 三、证明题（共一题，满分 10 分）。 试证：如果 t x = Ax （ ）是 / 满足初始条件 (t 0 ) = 的解，那么 (t) = ( ) 0 A t t e − 常微分方程期末考试答案卷 一、填空题。（30 分） 1、 x N x y y M x y = ( , ) ( , ) 2、 ( ) x y f dx dy = 3、y= 0 y + f x y dx x x0 ( , ) 4、连续的 5、w x1 (t), x2 (t,),..., xn (t) 0 6、n 个线性无关解
7、Φ(t)d(0) 8、X(xy)=0,Y(Xy)=0 9、为零 稳定中 计算题。(60分) 1、解:(x-y+1)dx( xdx-(ydx+xdy )+dx -y dy-3dy=0 Bp-dx-d(xy+dx--dy'-3dy=0 2 所以 y'-3y=C dx (x+y d 则二=1 1-z+2 de= dx +2z+1 所以-z+3n+1x+C1,lnz+1|1=x+z+C1 即( 则y 故在y≠0的任何区域上存在且连续, 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件, 显然,y=0是通过点(0,0)的一个解 又由 解得,b=(x-c)2
7、 ( ) (0) −1 t 8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0 9、为零 稳定中心 二、计算题。（60 分） 1、解： (x-y+1)dx-(x+ 2 y +3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx- 2 y dy-3dy=0 即 2 1 d 2 x -d(xy)+dx- 3 3 1 dy -3dy=0 所以 x − xy + x − y − 3y = C 3 1 2 1 2 3 2、解： ( ) 2 2( ) 1 + − + − = − x y x y dx dy ，令 z=x+y 则 dx dy dx dz = 1+ , 2 1 2 2 1 1 − + + = − − = − z z z z dx dz dz dx z z = + − + 1 2 所以 –z+3ln|z+1|=x+ C1， ln 3 | z +1| =x+z+ C1 即 x y x y Ce + + + = 3 2 ( 1) 3、解： 设 f(x,y)= 2 3 3 1 y ,则 ( 0) 2 1 3 2 = − y y y f 故在 y 0 的任何区域上 y f 存在且连续， 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 显然， y 0 是通过点（0，0）的一个解； 又由 2 3 = dx dy 3 1 y 解得，|y|= 2 3 (x − c)
所以,通过点(0,0)的一切解为y=0及 (x≤c) (x>c),c≥0是常数 解:(1)2 齐次方程的通解为x=e'(c1cos21+c2sin√2) (2)A=-1±i不是特征根,故取x=( A cost+ Bsin t)e- 代入方程比较系数得A= B=. 于是x=41 coSt te 通解为x=e(c;cos√2+c2sin√2)+1(5c0s1-4sin)e 解:det(E-A =22-42-5=0 所以,A1=-1,A2 设A1=-1对应的特征向量为v1 =0可得1 a≠0 取ν 同理取2=(2) 所以,4()=pne"n2
所以，通过点（0，0）的一切解为 y 0 及 |y|= − ( ) ( ), 0是常数 0 ( ) 2 3 x c x c c x c 4、解： (1) 2 3 0, 1 2i 1,2 2 − + = = 齐次方程的通解为 x= ( cos 2 sin 2 ) 1 2 e c t c t t + (2) = −1 i 不是特征根，故取 t x A t B t e − = ( cos + sin ) 代入方程比较系数得 A= 41 5 ，B=- 41 4 于是 t x t t e − = − sin ) 41 4 cos 41 5 ( 通解为 x= ( cos 2 sin 2 ) 1 2 e c t c t t + + t t t e − (5cos − 4sin ) 41 1 5、解： det( E − A )= 4 5 0 4 3 1 2 2 = − − = − − − − 所以， 1 = −1, 2 = 5 设 1 = −1 对应的特征向量为 1 v 由 0 1 1 0 4 4 2 2 1 1 − = = − − − − v 可得v 取 = − = 2 1 1 1 1 2 v 同理取v 所以， (t) = = − 2 5 1 e v e v t t − − − t t t t e e e e 5 5 2
e=Φ()y-(O) 2-1 6、解:因为方程组(1)是二阶线性驻定方程组,且满足条件 =ac≠0,故奇点为原点(0,0) 0 又由dA-42b=2-(a+0+-0得 C 所以,方程组的奇点(0,0)可分为以下类型: )×dc>0奇点为结点a<0c<0稳定结点 a>0,c>0,不稳定结点 为实 ac<0奇点为鞍点(不稳定) jb≠0奇点为退化结点a<0,c<0,稳定结点 a=c b=0,奇点为奇结点」a>0,c>0,不稳定结点 、证明题。(10分) 证明:设(1)的形式为o()=e"C (1) (C为待定的常向量) 则由初始条件得n=0(0)=eC 又(e4) 所以,C=(e4)-1 代入(1)得p(t)=ee
− + + − = − − = − − = = − − − − − − − − − − t t t t t t t t t t t t t t t t At e e e e e e e e e e e e e e e e e t 5 5 5 5 5 5 1 5 5 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 1 2 ( ) (0) 6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件 0 0 = ac c a b ，故奇点为原点（0，0） 又由 det(A- E)= ( ) 0 0 2 = − + + = − − a c ac c a b 得 = a = c 1 2 所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型： a，c 为实数 = = 不稳定结点 ，稳定结点 奇点为奇结点 奇点为退化结点 奇点为鞍点（不稳定） 不稳定结点 稳定结点 奇点为结点 0, 0, 0, 0 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 a c a c b b a c ac a c a c ac a c 三、证明题。 （10 分） 证明： 设 (t) 的形式为 (t) = e C At （1） （C 为待定的常向量） 则由初始条件得 ( ) 0 = t =e C At0 又 1 ( ) At0 − e = At0 e − 所以，C= 1 ( ) At0 − e = At0 e − 代入（1）得 (t) = ( ) 0 0 At At A t t e e e − − =