Bose- Einstein分布 与Ferm- Dirac分布
Bose-Einstein分布 与Fermi-Dirac分布
问题提出 ◆N个不可分辨粒子,总能量为E,排列在不同能 级{E上,最可几分布是什么? 对于Bose子,特定分布{n}的热力学几率为 (g1+n-1) Bose (81-1)n! 对于Bose子,特定分布n的热力学几率为 1(g,-n)n2 注意到分布{n}也必须满足粒子数和能量守恒 条件极值 N n8.=E
问题提出 ◆ N个不可分辨粒子，总能量为E，排列在不同能 级{εi }上，最可几分布是什么？ • 对于Bose子，特定分布{ni }的热力学几率为 • 注意到分布{ni }也必须满足粒子数和能量守恒 i i n N= i i i n E = 条 件 极 值 ( ) ( ) 1 ! 1 ! ! i i Bose i i i g n W g n + − = − • 对于Bose子，特定分布{ni }的热力学几率为 ( ) ! ! ! i Fermi i i i i g W g n n = −
Bose-Einstein分布 口 Lagrange不定乘子法: aIn Bose+a BEi dn,=0 InWBose-2LIn (,+n,-1)l-Ing-1)1-Inn,! (g1+n-1)hn(g+n1-1)-(g1-1)ln(g-1)-n1lnn aIn w g an 口Bose- Einstein分布(不可分辨Bose子) BE -a+BEi B
Bose-Einstein 分布 Lagrange 不定乘子法： ln 0 Bose i i i i W dn n + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln 1 ! ln 1 ! ln ! 1 ln 1 1 ln 1 ln Bose i i i i i i i i i i i i i W g n g n g n g n g g n n = + − − − − = + − + − − − − − ( ) ln ln 1 ln Bose i i i i W g n n n = + − − Bose-Einstein 分布（不可分辨Bose子） 1 1 1 i i i i BE g g n e e − + − + − = − −
Fermi- Dirac分布 口 Lagrange不定乘子法: aIn w +a-Bs,,=0 nWm=∑[ngln(g1-n)-ln =g, In,-(g -n,)In(g-n)-n Inn aNy 口Fermⅰ-DiaC分布(不可分辨Ferm子) FD e +1
Fermi-Dirac分布 Lagrange 不定乘子法： ln 0 Fermi i i i i W dn n + − = ( ) ( ) ( ) ln ln ! ln ! ln ! ln ln ln Fermi i i i i i i i i i i i i i W g g n n g g g n g n n n = − − − = − − − − ( ) ln ln ln Fermi i i i i W g n n n = − − Fermi-Dirac 分布（不可分辨Fermi子） 1 i i FD g n e − + = +
3种分布的比较 口 Maxwel| Boltzmann分布 BE MB e 口Bose- Einstein分布 e BE e c+Be e 口 Fermi- Dirac分布 + Ba FD +1 ①g>n,每个态上占据的粒子数很少,因此很少出现2个粒子占据 同一个态的情况。通常温度下,MB统计成立
3种分布的比较 i i MB g n e − + = 1 i i BE g n e − + = − 1 i i FD g n e − + = + Maxwell-Boltzmann分布 i i i g e n − + = Bose-Einstein分布 1 i i i g e n − + = − Fermi-Dirac分布 1 i i i g e n − + = + i i g n i e − + ① gi>>ni，每个态上占据的粒子数很少，因此很少出现2个粒子占据 同一个态的情况。通常温度下，MB统计成立。 e 1 −