反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ ·令：A表示V2不是有理数；B(p,q)表示p和q互质 ·假定：7A为真 注意p,q值域， ·推理： 此处省略 (A,若干数学定理)→F ·A T→(A∧若干数学定理) ·3p3q ·p2=2q 其实，这两步之 (A∧若干数学定理)=F ·p是偶数，令p=2m 间的逻辑还挺复 A =F 4m2=2q 杂，更为本质！ ·2m2=g A=T q是偶数 ·B(p,q) ·B(p,q) ·B(p,q)AB(p,q) ·False ·A三T
反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ • 令：𝐴表示 2不是有理数；𝐵(𝑝, 𝑞)表示p和q互质 • 假定：¬𝐴为真 • 推理： • ¬𝐴 • ∃𝑝∃𝑞 2 = 𝑝 𝑞 ∧ 𝐵 𝑝, 𝑞 • 𝑝 2 = 2𝑞 • 𝑝是偶数，令𝑝 = 2𝑚 • 4𝑚2 = 2𝑞 • 2𝑚2 = 𝑞 • 𝑞是偶数 • ¬𝐵 𝑝, 𝑞 • 𝐵 𝑝, 𝑞 • 𝐵 𝑝, 𝑞 ∧ ¬𝐵 𝑝, 𝑞 • 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 • 𝐴 ≡ 𝑇 注意p,q 值域， 此处省略 其实，这两步之 间的逻辑还挺复 杂，更为本质！
反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ ·定理证明： ·前提：一组命题公式A1,A2,,Ak ·结论：一个命题公式B 在这个一般性的定理证 ·如果是这样： 明过程中，你现在能说 ·前提：一组命题公式B,A1,A2,,Ak 清楚反证法的基本方法 ·结论：F 和它的逻辑正确性吗？ ·即：B,A1,A2,,Ak→F ·.(B∧A1∧A2A…AAk)=F ·又A1,A2,.,Ak为真 。B=F ·B=T ●
反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ • 定理证明： • 前提：一组命题公式A1, A2, …, Ak • 结论：一个命题公式B • 如果是这样： • 前提：一组命题公式¬𝐵, 𝐴1,𝐴2, … , 𝐴𝑘 • 结论：𝐹 • 即：¬𝐵, 𝐴1, 𝐴2, … ,𝐴𝑘 ⇒ 𝐹 • ∴ ¬𝐵 ∧ 𝐴1 ∧ 𝐴2 ∧ ⋯ ∧ 𝐴𝑘 = 𝐹 • 又∵ 𝐴1, 𝐴2,… , 𝐴𝑘为真 • ∴ ¬𝐵 = 𝐹 • ∴ 𝐵 = 𝑇 在这个一般性的定理证 明过程中，你现在能说 清楚反证法的基本方法 和它的逻辑正确性吗？
问题2： ·反证法有时比直接证明法更好用。你能说说为什么吗？ ·如果需要你证明如下定理，你有什么想法？ ·前提：A1,A2,…,Am ·结论：B1或者B2或者.或者Bn
问题2: • 反证法有时比直接证明法更好用。你能说说为什么吗？ • 如果需要你证明如下定理，你有什么想法？ • 前提：A1,A2,…,Am • 结论：B1或者B2或者…或者Bn
主要内容 ·反证法及其逻辑正确性 ·分情形证明法及其逻辑正确性 ·数学归纳法及其逻辑正确性 ·鸽笼原理及其逻辑正确性
主要内容 • 反证法及其逻辑正确性 • 分情形证明法及其逻辑正确性 • 数学归纳法及其逻辑正确性 • 鸽笼原理及其逻辑正确性
Theorem 5.3. Let x and y be real numbers.Then xyl =Ixllyl. 问题3：这种证明方法 为什么被称为分情形 Proof. 证明法？ First,suppose that x 0 and y 0.Then xy 0 and we have Ixyl xy,lxl=x,and lyl y.Therefore, Ixyl xy lxllyl, and we have established the result in this case. Second,suppose that x<0 andy 0.Then xy 0 and we have Ixyl =xy,IxI =-x,and lyl =-y.Therefore, 间题5：有的时候，我 们在证明时会用到 ==(-x)(一0=xl, “不失一性”这个 and we have the result for this case as well. 词，你理解这是什么 Third,suppose that either x =0 or y =0.Then xy =0 and we 意思吗？ have lxyl =0,and either Ixl=0 or lyl =0.Therefore, Ixyl =0=lxllyl. establishing the result in this case too. For our final case,suppose that one number is positive and the 问题4：这种证明方法 other is negative.Thus,we may assume that x 0 and y>0.Then xy 0 and we have lxyl =-(xy),Ixl =-x,and lyl =y.Therefore, 最“令人担心”的是 什么？ Ixy=-(xy)=(xy=Ixllyl ● we have now established the result for all four possible cases and we may conclude that xyl =xllyl for all real numbers x and y
问题3：这种证明方法 为什么被称为分情形 证明法？ 问题4：这种证明方法 最“令人担心”的是 什么？ 问题5：有的时候，我 们在证明时会用到 “不失一般性”这个 词，你理解这是什么 意思吗？