河海大学：《弹性力学及有限元》课程PPT教学课件（双语版）第四章 平面问题极坐标解答 solution of plane problems in polar coordinates

Only the circumferential displacement takes place只有环向位移 P b Fig.4.2.1 the angle of rotation of pa will be a=(AA"-PP)/ Pa=ue+oue/ardr)-ue/dr= oue/ar the angle of rotation of Pb will be p <pop PPNOP=-Uo/ re=0+β=u0ru/r 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 11 Only the circumferential displacement takes place只有环向位移 • the angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/ PA =[(u+u /rdr)-u ]/dr= u /r • the angle of rotation of PB will be  =- <pop  =- PP/OP=-u /r • rr =+=u /r-u /r

geometrical equations in rectangular coordinates 直角坐标中的几何方程 E=0u/0x:,=v/0 r=ou/ay+av/ax geometrical equations in polar coordinates 极坐标中的几何方程 Fr=du /ar cA=u/r+ouB/rde) B=Ou/ra0)+oue/ar-ue/r 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章 12

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 12 geometrical equations in rectangular coordinates 直角坐标中的几何方程 x =u/x y =v/y rxy =u/y+v/x • geometrical equations in polar coordinates 极坐标中的几何方程 • r =ur /r =ur /r +u /(r) rr =ur /(r) +u /r-u /r

E= du/ax e、=OvOy中的规律 由ex=ou/Ox=0v0y,得出规律:某一坐标方 向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变 中的项。 1.83=uOx-x方向的位移u对x坐标求导Oux为 方向线段的正应变ε。 2.8、=0vy-方向的位移v对y坐标求导avOy 为y方向线段的正应变8、。 将此规律应用到极坐标。则有r方向的位移u 对r求导为r方向的正应变中的项Er=Ou/r。0 方向的位移吗对0求导(再除以r以保持因次 致),为0方向的正应变中的项E=ug/(ro)。 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章 13

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 13 x =u/x y =v/y中的规律 • 由x =u/x y =v/y，得出规律：某一坐标方 向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变 中的项。 1. x =u/x ---x方向的位移u对x坐标求导u/x 为 x方向线段的正应变 x 。 2. y =v/y ---y方向的位移 v 对y坐标求导 v/y 为y方向线段的正应变y 。 • 将此规律应用到极坐标。则有r方向的位移ur 对r求导为r方向的正应变中的项r =ur /r。 方向的位移u对求导（再除以r以保持因次一 致），为方向的正应变中的项=u /(r)

rx=Ou/y+0v0x中的一般规律 由rx=Ou0y+0v0x,总结出一般规律,即设有 两个正交坐标方向,一个坐标方向的位移(如 u)对另一个坐标方向(y)求导为该坐标方向 (y)线段的转角。 1.OuOy-x方向的位移u对y坐标求导为y方向线 段的转角 2.0vx-方向的位移v对x坐标求导为x方向线 段的转角。 ·应用这一规律于极坐标,就能方便地解释 u/(rOe)+ duo/ar为re中的项 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 14 rxy =u/y+v/x中的一般规律 • 由rxy =u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。 1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。 2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。 • 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释 ur /(r) +u /r为rr中的项

Ee=u/r+oue/ra0) Ee=[2(r+a)-2r)2r=a/r Y +0 徐汉忠第一版20007 弹性力学第四章 15

徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第四章 15 =ur /r +u /(r) • =[2 (r+a)- 2 r])/ 2 r=a/r