在一边容器中的平均浓度可以通过对上式在y=0~士L之间积分得 A=1+4S (1-114) 上式中“亠”适用于0<y<L,“一”适用于-L<y<0 式(1-113)和式(1-114)在t较大时能很快收敛,当t较小时,收敛速度很慢,这时 将与扩散方向的长度为无穷大时的解近似 3)沿垂直平面的降膜中的扩散有一液体乃沿垂直平板作降膜层流流动,并从气体中 吸收组分A,由于液膜的厚度与板宽W相比是非常小的,因此可以只考虑x、z两个方向的 二维扩散,如图1-7所示,在建立扩散方程时,可以参考图18所示的微元扩散,则有 aNAr aNA (1-115) 厂T 图1-?降膜中的扩散 图1-8微元巾的扩散 若组分A在气液界面的浓度为cA,在液相流入平面前液体中的浓度为cA,并认为A在B 中的溶解度很小,扩散速度较慢,这样在气液接触时,组分A渗人液膜中的距离δ很小, 膜厚与渗入距离δ相比可以认为是∞,根据以上假设,则边界条件为 组分A在x方向上的传质通量为 出于A在B中是难溶的,即xA→0,则有 ==--D (1-117) 组分A在2方向上的传通量为 N (1-118) 由于液膜在z方向是流动的,在该方向上对流传质的量远大于分子扩散的传质量,所以式 (1-118)变为 (1-119) 由于扩散距离界面很近,所以只考虑界面上的速度
(1-120) 因此在z方向上的传质通量可近似为 Ax -CAue -CAuz. max (1-121) 将式(1-117)和式(1-121)代入式(1-115),则有 a2c DA ax2ur, max az 或 DAt 9=acA/a(2/us,max) 1-122) 式中,x/lmx可以看作是时间t,则 72 D (1-123) 这样就是把一个二维的定常扩散问题转化为一维的非定常扩散问题,解决这一问题可以采用 拉氏变换法( Laplace transform method),结果为 CA一CA rfc(x/v4DABt)=1-erf( CAL CAn x/√4DAt) (1124) 式中,t为z/ux2,mx 在求出x方向的浓度分布后,就可以得到x方向的传质通量 D EE(CAr-C 1-125) 若下降液膜的宽度为W,长度为L,则整块液膜的吸收速率为 Q=W NA lso dx=WL(cAi-CAo) D (1126) (4)非定常扩散的数值计算法对一维非定常扩散,传质方程为 2 图19所示宽度为x的平板,中心点为n,如图中明影部分所示。对此薄片建立组分A 在时间t时的摩尔衡算: 进入的速率一离开的速率=在△t(s)时间内累积的速率 D2A(n-n)=(A△x) (1-128) 式中,A为横截面积,sCn为点n处经过1个△t后的浓度。整理得 +c,=Ac+1+(M-2)n+;n; (1-129) 式中,M为常数 (△x)2 与传热一样,M≥2 在使用式(1-129)肘,点n处的浓度MCn和新的时刻t+△t可直接由t时刻的三个已 知点计算出来。计算过程是从t=0时的已知浓度出发,直接从一个时间增量计算下一个时 间增量,直到最终的时间为止
Ar/2 152 r+1 图1-9平板内的非定常扩敢 如果M=2,得到式(1129)的简化式,即 Schmidt法的表达式。 (1-130) 对于固体外侧的流体存在对流,以及外侧流体的浓度突然变为c的情况,我们可以对 图1-9中的1/2厚的薄片建立质量衡算,可以写出 对流进人的质量速率一扩散离开的质量速率一累积的质量速率 k2A(1C3-:C1) (1-c2)=S4Ax22 (1-131) 式中,c12是0.5△x薄片的中心处的浓度,近似地用c1代替;c1.z,重新整理式(1 131)得 =M12Nc,+1M-(2Nr2)]x1+2c2} (1-132 D AT 式中k--对流传质系数,m/s 请再次注意,M≥(2N+2)。对于第一个时间增量,我们应该使用(cn+sc1)/2作为cn 的平均值,c1是点】处的初始浓度。对于其后的时间,必须使用c值。c。值的这种特殊处 理增加了数值法的精度 对于图1-9中绝缘边界f,令式(1-132)中k=0(N=0),则得 「(M-2)c:+2cr1] (1-133) 如果N很大,式(1-132)的另一形式可由忽略式(1-131)中表示1/2厚薄片的累积项 得到。 -r1 (1-134) N 式(1-132)中的M值不受式(1-134)中的N值所限制 式(1-132)和式(1134)的边界条件方程,是在式(1-132)中给定分配系数K等于
1的条件下推导出来的。当K不等于1.0,像定常扩散的边界条件那样,则式(1-132a) 需用Kk。代替k。 N=Kk△x D (1-135) 同样,式(1-132)和式(1-134)中,必须用c/K代替c (5)扩散方程的图解法对于像平板、圆柱体和圆球内的 维非定常扩散冋题,一般都可以得到解析解,不过这类解的 形式都比较复杂,在这些工作中可以根据解析解制成的浓度 时间图进行计算。 ①平板如图1-10所示,有一块平板,设x、y方向为 无穷大,原浸泡在液相组分A中,并被A所饱和,但在t=0 时被暴露在空气流中,组分A通过平板扩散到表面然后被空 气流带走,如果在多孔板内的传质只考虑扩散而不考虑对流传=+1 质,那么在板内的扩散传质方程为一维非定常扩散,即 图1-10平板中的非定常扩散 DECA-_dca (1-136) 根据对图1-10的分析,边界条件为 BC1:t≥0 BC2: t=0,-L<X<L, CA=CAO BO 3:t>0,z=l,-D ke (caE-CAu) 在气相中组分A的浓度受A在平板表面浓度的影响,它们之间的关系为cA=KcAE(其中 cAE为平板表面A的浓度),BC3将变为 a△=k(-KcN) 式中,K为分配常数,利用 Henry定律,木板表面的浓度c=Kc,则BC3可写成: BC3: 10, 2=L, c (1-138) d 对于以上体系可以解出木板内的浓度分布为 2(ER+a +a)cosB,exp(Dt ST 2acosLB, (2/D) 1-139) 式中,R.是下面方程的根: B, tanB kl KD t时刻的传质与t→∞时的最大传质量之比为 1- BnD B3(P2+a2+a exp (1-140) 从式(1-139)中计算出的浓度分布如图1-11所示,从图中可以看到,浓度分布是a和位置 的函数,由式(1-140)计算得到的结果如图1-12所示,图中表明传质量也是a和时间的 函数 ②圆柱体下面将讨论如图1-13所示的无限长圆柱体中的非定常扩散传质。由于在长 度方向假设为无限长,则两端面的传质可忽略,在这种场合下的费克第二定律为
(1-141) t04 0 3 =00102 =!0 0.0020.4060.810 040.608101.2 (a)平板,20 (b)平板,2 图1-11平板中非定常扩散浓度分布 CA 图1-12平板中非定常扩散传质 图1-13闋柱体内的非定常扩散 在柱表面有对流传质时的边界条件为 BO BC2: t=0, r<r,c BO C3:t>0 R ar DK 解上述方程可以得到无量纲浓度分布为 CA一C∧ (+)(风)xp(-By 24JaB (r/R) 1-142) 式中,B是下面方程的根 RnJ1(只)-aJ3(An)=0 式中,J(只)和J1()是零阶和一阶的第一类 Bessel数,上述方程的根由(rank给 出,t时刻和总的传质量之比为 R2 (1143) 方程(1-142)和方程(1-143)的解分别由图1-14和图115所示。 ③圆球体对于与无限长圆柱体有类似的边界条件的圆球体中的非定常扩散,其无量 纲浓度分布为 r H(B:+a fe sin(B)exp/ B,Dt y cA-CA2aR、sinA(T/R (1-144) R