免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 17.1勾股定理 、教学目的 1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力 3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的内容及证明。 2.难点:勾股定理的证明 例题的意图分析 例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性:;通过拼图,发散学生的思 维,锻炼学生的动手实践能力:这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激 发学生的民族自豪感,和爱国情怀 例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。进一步 让学生确信勾股定理的正确性 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号, 如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定 理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明 勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺 折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长 你是否发现32+4与52的关系,52+12和132的关系,即3+42=52,52+12=-13,那么就有 勾2+股2=弦2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗? 五、例习题分析 例1(补充)已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、 ∠C的对边为a、b、c。 求证:a2+b2=c2 分析:(1)让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸, 让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明 (2拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正 4×-ab+(b-a)2=c2,化简可证 (3)发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。 (4)勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家 之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀 例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 解压密码联系qq11139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 17．1 勾股定理 一、教学目的 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学 习。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析 例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思 维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激 发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步 让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号， 如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定 理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明 勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角△ABC，用刻度尺量出 AB 的长。 以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺 折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直 角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。 再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ABC，用刻度尺量 AB 的长。 你是否发现 3 2 +42与 5 2 的关系，5 2 +122和 132 的关系，即 3 2 +42 =52，5 2 +122 =132，那么就有 勾 2 +股 2 =弦 2。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析 例 1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C 的对边为 a、b、c。 求证：a 2＋b 2 =c 2。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸， 让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S 小正=S 大正 4× 2 1 ab＋（b－a） 2 =c 2，化简可证。 ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 ⑷ 勾股定理的证明方法，达 300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家 之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。 例 2 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。 c b a D C A B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 求证:a2+b2=c2 分析:左右两边的正方形边长相 等,则两个正方形的面积相等。 左边S=4×-ab+c2 右边S=(a+b)2 左边和右边面积相等,即 4×-ab+c2=(a+b)2 化简可证 六、课堂练习 1.勾股定理的具体内容是: 2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示) (1)两锐角之间的关系: (2)若D为斜边中点,则斜边中线 (3)若∠B=30°,则∠B的对边和斜边: (4)三边之间的关系 3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则 若 满足b2>c2+a2,则∠B是 角:若满足b<c2+a2,则∠B是 角 4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理 七、课后练习 1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则 (已知a、b,求c) (已知b、c,求a) (3) (已知 求b) 如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律 写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。 3+4=5 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、4 92+403=412 192+b2 3.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=10√3cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移 动,问当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。 4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上 求证:(1)AD (2)若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuy 宝网址: jiaoxue5 u taobao. com D B
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 求证：a 2＋b 2 =c 2。 分析：左右两边的正方形边长相 等，则两个正方形的面积相等。 左边 S=4× 2 1 ab＋c 2 右边 S=（a+b）2 左边和右边面积相等，即 4× 2 1 ab＋c 2 =（a+b）2 化简可证。 六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若 D 为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。 3．△ABC 的三边 a、b、c，若满足 b 2 = a 2＋c 2，则 =90°； 若 满足 b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足 b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角。 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 七、课后练习 1．已知在 Rt△ABC 中，∠B=90°，a、b、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知 a、b，求 c） ⑵a= 。（已知 b、c，求 a） ⑶b= 。（已知 a、c，求 b） 2．如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 a＜b＜c，试根据表中已有数的规律， 写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。 3、4、5 3 2 +42 =52 5、12、13 5 2 +122 =132 7、24、25 7 2 +242 =252 9、40、41 9 2 +402 =412 …… …… 19，b、c 192 +b2 =c 2 3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC= 10 3 cm，一动点 P 从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移 动，问当 P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。 4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 在 CB 的延长线上。 求证：⑴AD2－AB2 =BD·CD ⑵若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 A D B C b b b b c c c c a a a a b b b b a a c c a a A C B D b c c a a b D C A E B
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uysl 1.略 2.①)∠A+∠B=0°;(2CD=1A:(3AC=1A:(AC+BC=A 3.∠B,钝角,锐角; 4.提示:因为S根形ABCD=S△ABE+S△BB+S△BDA,又因为S形ADc=(a+b)2, 5△ESAm=ab,S、,(a+b)2=2×ab+c2。 课后练习 1.(1)c=√b2-a2;(2)a=√b2-c2:(3b=√c2+a2 atb=c a2+1 则b= 当a=19时,b=180,c=181。 =b+1 3.5秒或10秒 4.提示:过A作AE⊥BC于E。 课后反思 7.1勾股定理(二) 教案总序号:11时间: 教学目的 1.会用勾股定理进行简单的计算 2.树立数形结合的思想、分类讨论思想 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的简单计算 2.难点:勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形, 理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。并学会 利用不同的条件转化为已知两边求第三边 例2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全面,体会分类讨论思 例3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创造直角三角形,作 高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提 高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述;勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例1(补充)在Rt△ABC,∠C=90° (1)已知a=b=5,求c (2)已知a=1,c=2,求b (3)已知c=17,b=8,求a。 (4)已知a:b=1:2,c=5,求a。 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1．略； 2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD= 2 1 AB；⑶AC= 2 1 AB；⑷AC2 +BC2 =AB2。 3．∠B，钝角，锐角； 4．提示：因为 S 梯形 ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为 S 梯形 ACDG= 2 1 （a+b）2， S△BCE= S△EDA= 2 1 ab，S△ABE= 2 1 c 2 , 2 1 （a+b） 2 =2× 2 1 ab＋ 2 1 c 2。 课后练习 1．⑴c= 2 2 b − a ；⑵a= 2 2 b − c ；⑶b= 2 2 c + a 2． = + + = 1 2 2 2 c b a b c ；则 b= 2 1 2 a − ，c= 2 1 2 a + ；当 a=19 时，b=180，c=181。 3．5 秒或 10 秒。 4．提示：过 A 作 AE⊥BC 于 E。 课后反思： 17．1 勾股定理（二） 教案总序号：11 时间： 一、教学目的 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例 1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形， 理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会 利用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思 想。 例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作 高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提 高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例 1（补充）在 Rt△ABC，∠C=90° ⑴已知 a=b=5,求 c。 ⑵已知 a=1,c=2, 求 b。 ⑶已知 c=17,b=8, 求 a。 ⑷已知 a：b=1：2,c=5, 求 a
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (5)已知b=15,∠A=30°,求a,c 分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。(1)已知两 直角边,求斜边直接用勾股定理。(23)已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的 便形式。(4)5)已知一边和两边比,求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知 任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边, 学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想 例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三 边 分析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面,体会分类 讨论思想 例3(补充)已知:如图,等边△ABC的边长是6cme (1)求等边△ABC的高 (2)求S△ABC 分析:勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要 创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中 但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=-AB=3cm,则此题可解。 六、课堂练习 填空题 (1)在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c= (2)在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c= (3)在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a= (4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 (5)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为 (6)已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为 面积为 2.已知:如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=4√3,AC=4, AD是BC边上的高,求BC的长。 3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰 三角形的面积。 七、课后练习 1.填空题 在Rt△ABC,∠C=90° (1)如果a=7,c=25,则b= (2)如果∠A=30°,a=4,则b= (3)如果∠A=45°,a=3,则c= (4)如果c=10,a-b=2,则b= (5)如果a、b、c是连续整数,则a+b+c (6)如果b=8,a:c=3:5,则c= 2.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC, AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 jiaoxuewr0u九折优惠!海 宝网址; jiaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ⑸已知 b=15，∠A=30°，求 a，c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两 直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的 便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知 任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边， 学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三 边。 分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应 分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类 讨论思想。 例 3（补充）已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高 CD，可将其置身于 Rt△ADC 或 Rt△BDC 中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD= 2 1 AB=3cm，则此题可解。 六、课堂练习 1．填空题 ⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= 。 ⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= 。 ⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ， 面积为 。 2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 4 3 ，AC=4， AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。 3．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰 三角形的面积。 七、课后练习 1．填空题 在 Rt△ABC，∠C=90°， ⑴如果 a=7，c=25，则 b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则 b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则 c= 。 ⑷如果 c=10，a-b=2，则 b= 。 ⑸如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c= 。 ⑹如果 b=8，a：c=3：5，则 c= 。 2．已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求 BC 的长。 D C B A A C D B B C A D
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 八、参考答案 课堂练习 1.17;√7:6,8:6,8,10:4或√34:√3,√3 课后练习 1.24;4√3:3√2;6;12:10 3 课后反思: 17.1勾股定理(三) 教案总序号:12时间: 教学目的 1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 2.树立数形结合的思想 二、重点、难点 1.重点:勾股定理的应用。 2.难点:实际问题向数学问题的转化 三、例题的意图分析 例1(教材探究1)明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化:学会如何 利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例2(教材探究2)使学生进一步熟练使用勾股定理,探究直角三角形 三边的关系:保证一边不变,其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题,今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,你 可以吗?试一试 五、例习题分析 例1(教材探究1) 分析:(1)在实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理的使用条件,即门框为长方形, 四个角都是直角。(2)让学生深入探讨图中有几个直角三角形?图中标字母的线段哪条最长 (3)指出薄木板在数学问题中忽略厚度,只记长度,探讨以何种方式通过?(4)转化为勾股定理 的计算,采用多种方法。(5注意给学生小结深化数学建模思想,激发数学兴趣。 例2(教材探究2) 分析:(1)在△AOB中,已知AB=3,AO=2.5,利用勾股定理计算OB (2)在△COD中,已知CD=3,C0=2,利用勾股定理计算OD。 则BD=OD一OB,通过计算可知BD≠AC。 (3)进一步让学生探究AC和BD的关系,给AC不同的值,计算 BD. 解压密码联系qq11139686加微信公众号 JIaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址; jiaoxuesu. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 八、参考答案 课堂练习 1．17； 7 ； 6，8； 6，8，10； 4 或 34 ； 3 ， 3 ； 2．8； 3．48。 课后练习 1．24； 4 3 ； 3 2 ； 6； 12； 10； 2． 3 2 3 课后反思： 17．1 勾股定理（三） 教案总序号：12 时间： 一、教学目的 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的应用。 2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例 1（教材探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何 利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例 2（教材探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形 三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使 用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你 可以吗？试一试。 五、例习题分析 例 1（教材探究 1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形， 四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？ ⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理 的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例 2（教材探究 2） 分析：⑴在△AOB 中，已知 AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算 OB。 ⑵ 在△COD 中，已知 CD=3，CO=2，利用勾股定理计算 OD。 则 BD=OD－OB，通过计算可知 BD≠AC。 ⑶进一步让学生探究 AC 和 BD 的关系，给 AC 不同的值，计算 BD。 D A B C O A B C D