反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ ·定理证明： ·前提：一组命题公式A1,A2,,A4k ·结论：一个命题公式B ·如果是这样： 问题1：在这个一般性的 · 前提：一组命题公式B,A 定理证明过程中，你现在 ·结论：F 能说清楚反证法的基本方 ·即：7B,A1,A2,,Ak=>f 法和它的逻辑正确性吗？ ·BΛA1ΛA2∧..八4=F ·A1,42,,A4为真 ·B=F ·B=T
反证法的逻辑正确性必定来自于逻辑！ • 定理证明： • 前提：一组命题公式A1 , A2 , …, Ak • 结论：一个命题公式B • 如果是这样： • 前提：一组命题公式¬ B,A1 , A2 , …, Ak • 结论：F • 即：¬ B,A1 , A2 , …, Ak=>F • ¬ B ∧ A1 ∧ A2 ∧ … ∧Ak=F • A1 , A2 , …, Ak为真 • ¬ B=F • B=T 为什么？ 问题1：在这个一般性的 定理证明过程中，你现在 能说清楚反证法的基本方 法和它的逻辑正确性吗？
问题2 ·反证法有时比直接证明法更好用。你能说说为什么吗？ ·如果需要你证明如下定理，你有什么想法？ ·前提：A1,A2,.,Am ·结论：B1或者B2或者.或者Bn
问题2 • 反证法有时比直接证明法更好用。你能说说为什么吗？ • 如果需要你证明如下定理，你有什么想法？ • 前提：A1,A2,…,Am • 结论：B1或者B2或者…或者Bn
Theorem 5.3. Let x and y be real numbers.Then lxyl lxllyl. Proof. 问题3：这种证明方法 First,suppose that x 0 and y 0.Then xy 0 and we have 为什么被称为分情形证 Ixyl =xy,xl=x,and lyl =y.Therefore, 明法？ Ixyl =xy Ixllyl, and we have established the result in this case. Second,suppose that x<0 andy 0.Then xy 0 and we have Ixyl xy,Ixl =-x,and lyl =-y.Therefore, 问题5：有的时候，我 =xy=(-x)(-0=xl, 们在证明时会用到“不 and we have the result for this case as well. 失一般性”这个词，你 Third,suppose that either x=0 ory=0.Then xy =0 and we 理解这是什么意思吗？ have lxyl =0,and either x=0 or lyl =0.Therefore, =0=xl, establishing the result in this case too. For our final case,suppose that one number is positive and the other is negative.Thus,we may assume that x<0 and y >0.Then 问题4：这种证明方法 xy 0 and we have lxyl =-(xy),lxl =-x,and lyl y.Therefore, 最“令人担心”的是什 x=-(0=(-x)y=xl 么？ We have now established the result for all four possible cases and we may conclude that lxyl =Ixllyl for all real numbers x and y
问题3：这种证明方法 为什么被称为分情形证 明法？ 问题4：这种证明方法 最“令人担心”的是什 么？ 问题5：有的时候，我 们在证明时会用到“不 失一般性”这个词，你 理解这是什么意思吗？